Bài 20:
a: Xét ΔABH vuông tại H và ΔCAH vuông tại H có
\(\widehat{ABH}=\widehat{CAH}\left(=90^0-\widehat{HAB}\right)\)
Do đó: ΔABH~ΔCAH
=>\(\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{HB}{HA}\)
=>\(AH^2=HB\cdot HC\)
b: BH+CH=BC
=>CH+4=13
=>CH=9(cm)
\(AH^2=HB\cdot HC=4\cdot9=36\)
=>\(AH=\sqrt{36}=6\left(cm\right)\)
ΔAHB vuông tại H
=>\(HA^2+HB^2=AB^2\)
=>\(AB=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=2\sqrt{13}\left(cm\right)\)
c: Ta có: \(\widehat{EHA}+\widehat{FHA}=\widehat{EHF}=90^0\)
\(\widehat{AHF}+\widehat{CHF}=\widehat{AHC}=90^0\)
Do đó: \(\widehat{EHA}=\widehat{CHF}\)
Xét ΔAHE và ΔCHF có
\(\widehat{AHE}=\widehat{CHF}\)
\(\widehat{HAE}=\widehat{HCF}\)
Do đó: ΔAHE~ΔCHF
=>\(\dfrac{AE}{CF}=\dfrac{AH}{CH}\)
=>\(AE\cdot CH=AH\cdot CF\)
d:
\(S_{EHF}=\dfrac{1}{2}\cdot EF\cdot d\left(H;EF\right)\); với d(H;EF) là khoảng cách từ H xuống EF
Để \(S_{HEF}\) nhỏ nhất thì d(H;EF) nhỏ nhất
=>E là trung điểm của AB
