Question

Answer 1

1).

Xét tứ giác MAOB có:

\(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}=90^o+90^o=180^o\)

=> Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.

=> 4 điểm M, A, O, B thuộc 1 đường tròn.

2).

Có: \(\widehat{EMC}=\widehat{ACM}=\left(soletrong.AC//MB\right)\)

\(\widehat{MAE}=\widehat{ACM}\left(=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AD}\right)\)

=> \(\widehat{EMC}=\widehat{MAE}\)

Xét tam giác EMD  và tam giác EAM có:

\(\widehat{E}\) chung

\(\widehat{EMD}=\widehat{MAE}\)

=> Tam giác EMD đồng dạng tam giác EAM (g.g)

=> \(\dfrac{EM}{EA}=\dfrac{ED}{EM}\Rightarrow EM^2=EA.ED\left(1\right)\)

Xét tam giác EBD và tam giác EAB có:

\(\widehat{AEB}\) chung

\(\widehat{EBD}=\widehat{EAB}\left(=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{BD}\right)\)

=> Tam giác EBD đồng dạng tam giác EAB (g.g)

=> \(\dfrac{EB}{EA}=\dfrac{ED}{EB}\Rightarrow EB^2=EA.ED\left(2\right)\left(đpcm\right)\)

Từ (1), (2) có: \(EM^2=EB^2\Rightarrow EM=EB\) hay E là trung điểm của MB (đpcm)

Answer 2

1, Xét tứ giác MAOB ta có 

^MAO + ^MBO = 180⁰

mà 2 góc này đối nhau 

Vậy tứ giác MAOB nt 1 đường tròn 

Ta có MAOB là hình thoi => MO vuông AB (1) 

^ABQ = 90⁰ ( góc nt chắn nửa đường tròn) 

=> AB vuông BQ (2) 

Từ (1); (2) => BQ // AB 

2. Xét tam giác EBD và tam giác EAB ta có 

^BED _ chung 

^EBD = ^EAB ( góc nt chắn cung DB, góc tạo bởi tiếp tuyến chắn cung DB) 

Vậy tam giác EBD ~ tam giác EAB (g.g) 

\(\dfrac{EB}{EA}=\dfrac{ED}{EB}\Rightarrow BE^2=ED.EA\)(3)

Ta có ^ACD = ^MAD ( góc nt chắn cung AD; góc tạo bởi tiếp tuyến chắn cung AD) 

Lại có AC // MI => ^ACD = ^CMI ( so le trong ) 

=> ^MAD = ^DMB 

Xét tam giác EMD và tam giác EAM ta có 

^MED _chung 

^EMD = ^EAM (cmt) 

Vậy tam giác EMD ~ tam giác EAM (g.g)

\(\dfrac{EM}{EA}=\dfrac{ED}{EM}\Rightarrow EM^2=ED.EA\)(4) 

Từ (3);(4) vậy E là trung điểm MB