\(x^2-2mx+m^2-2m+2=0\left(1\right)\)
a) Thay m = 2 vào pt (1) ta được:
\(x^2-2.2x+2^2-2.2+2=0 \)
\(\Leftrightarrow x^2-4x+2=0\left(a=1;b=-4;c=2\right)\)
Ta có: \(\Delta=b^2-4ac=\left(-4\right)^2-4.1.2=8\)
Vì △ > 0 nên pt có 2 nghiệm phân biệt:
\(x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-\left(-4\right)+\sqrt{8}}{2.1}=2+\sqrt{2}\)
\(x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-\left(-4\right)-\sqrt{8}}{2.1}=2-\sqrt{2}\)
Vậy khi m = 2 thì nghiệm của pt (1) là x1 = \(2+\sqrt{2}\) ; x2 = \(2-\sqrt{2}\)
b) \(x^2-2mx+m^2-2m+2=0\left(1\right)\)
\(\left(a=1;b'=-m;c=m^2-2m+2\right)\)
Ta có: \(\Delta'=b'^2-ac=\left(-m\right)^2-1.\left(m^2-2m+2\right)=m^2-m^2+2m-2=2m-2\)
Để phương trình (1) có nghiệm thì: \(\Delta\ge0\)
\(\Rightarrow2m-2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2m\ge2\)
\(\Leftrightarrow m\ge1\)
Vậy m ≥ 1 thì phương trình có nghiệm nên áp dụng hệ thức Vi ét:
\(x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-\left(-2m\right)}{1}=2m\) \(\left(2\right)\)
\(x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m^2-2m+2\) \(\left(3\right)\)
Ta có: \(x_1^2+x_2^2=x_1+x_2+8\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\right)-2x_1x_2-x_1-x_2=8\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)=8\) \(\left(4\right)\)
Thay (2), (3) vào (4) ta được:
\(\left(2m\right)^2-2\left(m^2-2m+2\right)-2m=8\)
\(\Leftrightarrow4m^2-2m^2+4m-4-2m-8=0\)
\(\Leftrightarrow2m^2+2m-12=0\)
\(\Leftrightarrow m^2+m-6=0\) \(\left(a=1;b=1;c=-6\right)\)
Ta có: \(\Delta=b^2-4ac=1^2-4.1.\left(-6\right)=25\)
Vì △ > 0 nên pt có 2 nghiệm phân biệt:
\(m_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1+\sqrt{25}}{2.1}=2\left(TMĐK\right)\)
\(m_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1-\sqrt{25}}{2.1}=-2\left(loại\right)\)
Vậy m = 2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: \(x_1^2+x_1^2=x_1+x_2+8\)
