Bài 4:
a: XétΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có
\(\widehat{BAE}\) chung
Do đó: ΔABE~ΔACF
=>\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AF}\)
=>\(AF\cdot AB=AE\cdot AC\)
b: Xét ΔABC có
BE,CF là các đường cao
BE cắt CF tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH\(\perp\)BC tại D
Xét ΔBDH vuông tại D và ΔBEC vuông tại E có
\(\widehat{DBH}\) chung
Do đó: ΔBDH~ΔBEC
=>\(\dfrac{BD}{BE}=\dfrac{BH}{BC}\)
=>\(BD\cdot BC=BH\cdot BE\)
c: Xét ΔCDH vuông tại D và ΔCFB vuông tại F có
\(\widehat{DCH}\) chung
Do đó: ΔCDH~ΔCFB
=>\(\dfrac{CD}{CF}=\dfrac{CH}{CB}\)
=>\(CH\cdot CF=CD\cdot CB\)
\(BH\cdot BE+CH\cdot CF\)
\(=BD\cdot BC+CD\cdot BC\)
=BC(BD+CD)
=BC2
d: Xét ΔADB vuông tại D có DM là đường cao
nên \(AM\cdot AB=AD^2\left(1\right)\)
Xét ΔADC vuông tại D có DN là đường cao
nên \(AN\cdot AC=AD^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
=>\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)
Xét ΔAMN và ΔACB có
\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)
\(\widehat{MAN}\) chung
Do đó: ΔAMN~ΔACB
=>\(\widehat{AMN}=\widehat{ACB}\left(3\right)\)
Ta có: \(AE\cdot AC=AF\cdot AB\)
=>\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)
Xét ΔAEF và ΔABC có
\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)
\(\widehat{EAF}\) chung
Do đó: ΔAEF~ΔABC
=>\(\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\left(4\right)\)
Từ (3),(4) suy ra \(\widehat{AFE}=\widehat{AMN}\)
=>FE//MN
Bài 3:
Gọi chiều rộng khu vườn là x(m)
(ĐK: x>0)
Chiều dài khu vườn là x+5(m)
Chiều rộng sau khi tăng thêm 5m là x+5(m)
Chiều dài sau khi tăng thêm 2m là x+5+2=x+7(m)
Diện tích tăng thêm 70m2 nên ta có:
(x+5)(x+7)-x(x+5)=70
=>7(x+5)=70
=>x+5=10
=>x=5(nhận)
vậy: Chiều rộng là 5m
Chiều dài là 5+5=10m
