a: Xét ΔMAB và ΔMDC có
MA=MD
\(\hat{AMB}=\hat{DMC}\) (hai góc đối đỉnh)
MB=MC
Do đó: ΔMAB=ΔMDC
b: ΔMAB=ΔMDC
=>\(\hat{MAB}=\hat{MDC}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên AB//CD
Ta có: ΔMAB=ΔMDC
=>AB=DC
mà AB<AC
nên CD<CA
Xét ΔCAD có CD<CA
mà \(\hat{CAD};\hat{CDA}\) lần lượt là góc đối diện của các cạnh CD,CA
nên \(\hat{CAD}<\hat{CDA}\)
mà \(\hat{CDA}=\hat{BAD}\) (hai góc so le trong, AB//CD)
nên \(\hat{CAD}<\hat{BAD}\)
c: Xét ΔMHA vuông tại H và ΔMKD vuông tại K có
MA=MD
\(\hat{HMA}=\hat{KMD}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔMHA=ΔMKD
=>AH=DK
d: ΔDKM vuông tại K
=>DM là cạnh huyền
=>DM là cạnh lớn nhất trong ΔDKM
=>DM>DK
mà AD=2DM
nên AD>2DK
e: Ta có: AG+GM=AM
=>AM=2GM+GM=3GM
=>\(\frac{AG}{AM}=\frac{2GM}{3GM}=\frac23\)
Xét ΔABC có
AM là đường trung tuyến
\(AG=\frac23AM\)
Do đó: G là trọng tâm của ΔABC
=>CG cắt AB tại trung điểm P của AB; BG cắt AC tại trung điểm N của AC
Xét ΔABC có
G là trọng tâm
BN là đường trung tuyến
Do đó: \(BG=\frac23BN\)
Xét ΔCAB có
G là trọng tâm
CP là đường trung tuyến
Do đó: \(CG=\frac23CP\)
Xét ΔGBC có GB+GC>BC
Xét ΔGAC có GA+GC>AC
Xét ΔGAB có GA+GB>AB
Do đó: GB+GC+GA+GC+GA+GB>BC+AC+AB
=>2(GA+GB+GC)>AB+AC+BC
=>\(2\cdot\frac23\left(AM+BN+CP\right)>AB+AC+BC\)
=>\(AM+BN+CP>\frac34\left(AB+AC+BC\right)\)
