Bài 9:
a: Xét ΔCDA vuông tại D và ΔCEB vuông tại E có
\(\widehat{DCA}\) chung
Do đó: ΔCDA~ΔCEB
b: Xét ΔHEA vuông tại E và ΔHDB vuông tại D có
\(\widehat{EHA}=\widehat{DHB}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó; ΔHEA~ΔHDB
=>\(\dfrac{HE}{HD}=\dfrac{HA}{HB}\)
=>\(HE\cdot HB=HA\cdot HD\)
c: Xét ΔABC có
BE,AD là các đường cao
BE cắt AD tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>CH\(\perp\)AB tại F
Xét ΔAFH vuông tại Fvà ΔADB vuông tại D có
\(\widehat{FAH}\) chung
Do đó: ΔAFH~ΔADB
=>\(\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{AH}{AB}\)
=>\(AF\cdot AB=AH\cdot AD\)
Bài 8:
a: ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(BC^2=6^2+8^2=100=10^2\)
=>BC=10(cm)
Xét ΔABC có BD là phân giác
nên \(\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\)
b: Xét ΔABD vuông tại A và ΔEBC vuông tại E có
\(\widehat{ABD}=\widehat{EBC}\)
Do đó: ΔABD~ΔEBC
=>\(\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AD}{EC}\)
=>\(BD\cdot EC=AD\cdot BC\)
Bài 8:
a) Tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên ta có BC = √(AB² + AC²) = √(6² + 8²) = 10 (cm).
=> Theo định lý phân giác trong tam giác, ta có tỉ số AD/DC = AB/BC = 6/10 = 0,6.
b) Ta có ∠ABD = ∠EBC (do cùng chắn cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) và ∠ADB = ∠EBC (do cùng bằng 90 độ).
- Vậy tam giác ABD đồng dạng với tam giác EBC (góc - cạnh - góc).
=> Do đó, ta có BD/BC = AD/BE => BD. EC = AD. BC.
c) Ta có ∠CDB = ∠CBE (do cùng chắn cung CB của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) và ∠CBD = ∠BCE (do cùng bằng 90^o).
- Vậy tam giác CBD đồng dạng với tam giác BCE (góc - cạnh - góc).
=> Do đó, ta có CD/BC = CE/BE.
d) Ta có ∠CHE = ∠DHE (do cùng chắn cung DE của đường tròn ngoại tiếp tam giác EHD) và ∠CHB = ∠DHB (do cùng chắn cung DB của đường tròn ngoại tiếp tam giác BHD).
- Vậy tam giác CHE đồng dạng với tam giác DHE (góc - cạnh - góc).
=> Do đó, ta có CH/CB = ED/EB => CH.CB = ED.EΒ.
Bài 9:
a) Ta có:
- ∠ADC = ∠BEC (do cùng chắn cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
- ∠ACD = ∠BCE (do cùng chắn cung AC của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
=> Vậy tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC (cạnh - góc - cạnh).
b) Ta có ∠HBE = ∠HAD (do cùng chắn cung HD của đường tròn ngoại tiếp tam giác AHD)
- ∠HBH = ∠HDA (do cùng chắn cung HA của đường tròn ngoại tiếp tam giác AHD)
=> Vậy tam giác HBE đồng dạng với tam giác HAD (cạnh - góc - cạnh). Từ đó suy ra:
$\frac{HE}{HA} = \frac{HB}{HD} \Rightarrow HE.HD = HA.HB$
c) Ta có ∠FAB = ∠CAD (do cùng chắn cung AC của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
- ∠AFB = ∠ACD (do cùng chắn cung AD của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
=> Vậy tam giác FAB đồng dạng với tam giác CAD (cạnh - góc - cạnh). Từ đó suy ra:
$\frac{AF}{AC} = \frac{AB}{AD} \Rightarrow AF.AB = AC.AD = AH.AD$
d) Ta có ∠HDA = ∠HBA (do cùng chắn cung HA của đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB)
- ∠HAD = ∠HAB (do cùng chắn cung HB của đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB)
- Vậy tam giác HDA đồng dạng với tam giác HBA (cạnh - góc - cạnh). Từ đó suy ra:
$\frac{HD}{AD} = \frac{HB}{AB}$
Tương tự, ta cũng có:
$\frac{HE}{BE} = \frac{HB}{AB}$
$\frac{HF}{BF} = \frac{HB}{AB}$
Cộng ba lại, ta được:
$\frac{HD}{AD} + \frac{HE}{BE} + \frac{HF}{BF} = \frac{HB}{AB} + \frac{HB}{AB} + \frac{HB}{AB} = 1$
=> Vậy ta đã chứng minh được HD/AD + HE/BE + HF/BF = 1.
