Gọi H là trung điểm AB \(\Rightarrow SH\perp AB\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{SCH}\) là góc giữa SC và mặt đáy
\(\Rightarrow\widehat{SCH}=60^0\)
\(HC=\sqrt{BH^2+BC^2}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\)
\(SH=HC.tan\widehat{SCH}=\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\)
Trong mp (ABCD), qua C kẻ đường thẳng song song BD cắt AB kéo dài tại E
\(\Rightarrow BD||\left(SCE\right)\Rightarrow d\left(BD;SC\right)=d\left(BD;\left(SCE\right)\right)=d\left(B;\left(SCE\right)\right)\)
BDCE là hình bình hành (2 cặp cạnh đối song song) \(\Rightarrow BE=CD=a\)
\(\Rightarrow HE=\dfrac{3a}{2}=\dfrac{3}{2}BE\Rightarrow BE=\dfrac{2}{3}HE\)
\(HB\cap\left(SCE\right)=E\Rightarrow d\left(B;\left(SCE\right)\right)=\dfrac{2}{3}d\left(H;\left(SCE\right)\right)\)
Từ H kẻ \(HF\perp CE\Rightarrow CE\perp\left(SHF\right)\)
Từ H kẻ \(HK\perp SF\Rightarrow HK\perp\left(SCE\right)\Rightarrow HK=d\left(H;\left(SCE\right)\right)\)
\(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=45^0\) (hai góc đối hbh) \(\Rightarrow HF=\dfrac{HE}{\sqrt{2}}=\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}\)
Hệ thức lượng:
\(HK=\dfrac{SH.HF}{\sqrt{SH^2+HF^2}}=\dfrac{3a\sqrt{65}}{26}\)
\(\Rightarrow d\left(BD;SC\right)=\dfrac{2}{3}HK=\dfrac{a\sqrt{65}}{13}\)
