1.
\(\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)=f\left(1+\Delta x\right)-f\left(1\right)=2\left(1+\Delta x\right)-2=2\Delta x\)
2.
Để hàm có đạo hàm thì trước hết nó phải liên tục tại \(x=1\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\left(ax+b\right)=a+b\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=f\left(1\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\dfrac{x^2}{3}=\dfrac{1}{3}\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=f\left(1\right)\Rightarrow a+b=\dfrac{1}{3}\)
Khi đó hàm có đạo hàm tại \(x=1\) khi đạo hàm trái và đạo hàm phải tại đó bằng nhau
\(f'\left(1^+\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\dfrac{ax+b-\left(a+b\right)}{x-1}=a\)
\(f'\left(1^-\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\dfrac{\dfrac{x^2}{3}-\dfrac{1}{3}}{x-1}=\dfrac{2}{3}\)
\(f'\left(1^+\right)=f'\left(1^-\right)\Rightarrow a=\dfrac{2}{3}\)
\(\Rightarrow b=1-a=-\dfrac{1}{3}\)
Vd2:
\(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\dfrac{x^2}{3}=\dfrac{1}{3}\)
\(f\left(1\right)=\dfrac{1^2}{3}=\dfrac{1}{3}\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=a\cdot1+b=a+b\)
Để hàm số có đạo hàm tại x=1 thì \(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=f\left(1\right)\)
=>\(a+b=\dfrac{1}{3}\)
