Bài 3:
a: Xét ΔBAD có ME//AD
nên \(\dfrac{ME}{AD}=\dfrac{BM}{BD}=\dfrac{BE}{BA}\)
Xét ΔCMF có AD//FM
nên \(\dfrac{AD}{FM}=\dfrac{CD}{CM}\)
\(\dfrac{ME}{AD}=\dfrac{BM}{BD}\)
=>\(ME=\dfrac{BM}{BD}\cdot AD=\dfrac{BM}{CD}\cdot AD\)
\(\dfrac{AD}{FM}=\dfrac{CD}{CM}\)
=>\(MF=AD\cdot\dfrac{CM}{CD}\)
\(ME+MF=AD\cdot\dfrac{BM}{CD}+AD\cdot\dfrac{CM}{CD}\)
\(=AD\left(\dfrac{BM}{CD}+\dfrac{CM}{CD}\right)\)
\(=AD\cdot\dfrac{BC}{CD}=2AD\)
b: Ta có: I là trung điểm của EF
=>\(IE=IF=\dfrac{EF}{2}\)
ME+MF=ME+ME+EF
\(=2ME+2EI\)
=2(ME+EI)
=2MI
mà ME+MF=2AD
nên MI=AD
Xét tứ giác ADMI có
AD//MI
AD=MI
Do đó: ADMI là hình bình hành
Bài 2:
a: Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AD,BC
Xét hình thang ABCD có
E,F lần lượt là trung điểm của AD,BC
=>EF là đường trung bình của hình thang ABCD
=>EF//AB//CD và \(EF=\dfrac{AB+CD}{2}\)
Xét ΔDAB có
M,E lần lượt là trung điểm của DB,DA
=>ME là đường trung bình của ΔDAB
=>ME//AB và \(ME=\dfrac{AB}{2}\)
Xét ΔCAB có
N,F lần lượt là trung điểm của CA,CB
=>NF là đường trung bình của ΔCAB
=>NF//AB và \(NF=\dfrac{AB}{2}\)
Ta có: NF//AB
FE//AB
NF,FE có điểm chung là F
Do đó: F,N,E thẳng hàng
ta có: EF//AB
EM//AB
EF,EM có điểm chung là E
Do đó: E,F,M thẳng hàng
mà F,N,E thẳng hàng
nên E,M,N,F thẳng hàng
=>MN//AB
b: Xét ΔOAB và ΔOCD có
\(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\)(hai góc so le trong, AB//CD)
\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔOAB~ΔOCD
=>\(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}\)
=>\(\dfrac{OA}{OB}=\dfrac{OC}{OD}\)
Xét ΔOCD có MN//DC
nên \(\dfrac{OM}{MD}=\dfrac{ON}{NC}\)
=>\(\dfrac{OM+MD}{MD}=\dfrac{ON+NC}{NC}\)
=>\(\dfrac{OD}{MD}=\dfrac{OC}{NC}\)
=>\(\dfrac{OC}{OD}=\dfrac{NC}{MD}\)
=>\(\dfrac{NC}{MD}=\dfrac{OA}{OB}\)
c: Ta có: EM+MN+NF=EF
=>\(MN+\dfrac{AB}{2}+\dfrac{AB}{2}=\dfrac{AB+CD}{2}\)
=>\(MN=\dfrac{CD-AB}{2}\)
