a.
\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m^2-2m-3\right)=4>0;\forall m\)
\(\Rightarrow\) Pt luôn có 2 nghiệm pb với mọi m
b. Câu này tốt nhất là ko sử dụng Viet, nó sẽ dẫn tới những điều kiện về dấu phức tạp (do có căn). Tốt hơn là giải trực tiếp.
Ta có:
\(x^2-2\left(m-1\right)x+m^2-2m-3=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2mx+m^2+2x-2m-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-m\right)^2+2\left(x-m\right)-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-m\right)^2-\left(x-m\right)+3\left(x-m\right)-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-m\right)\left(x-m-1\right)+3\left(x-m-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-m+3\right)\left(x-m-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=m-3\\x=m+1\end{matrix}\right.\)
Thế vào \(x_1+1=\sqrt{x_2}\)
Th1: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=m-3\\x_2=m+1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m-2=\sqrt{m+1}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge2\\\left(m-2\right)^2=m+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge2\\m^2-5m+3=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}\\m=\dfrac{5-\sqrt{13}}{2}< 2\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Th2: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=m+1\\x_2=m-3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m+2=\sqrt{m-3}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge-2\\\left(m+2\right)^2=m-3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge-2\\m^2+3m+7=0\end{matrix}\right.\) (vô nghiệm)
Vậy \(m=\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}\)
