a: Trên tia đối của tia OA, lấy K sao cho OA=OK
OM là đường trung trực của AB
=>OA=OB
ON là đường trung trực của AC
=>OA=OC
mà OA=OB
nên OA=OB=OC
Xét ΔABC có
AD,CE là các đường cao
AD cắt CE ại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>BH⊥AC
Xét ΔABK có
BO là đường trung tuyến
\(BO=\frac{AK}{2}\)
Do đó: ΔABK vuông tại B
=>BK⊥BA
mà CH⊥BA
nên CH//BK
Xét ΔACK có
CO là đường trung tuyến
\(CO=\frac{AK}{2}\)
Do đó: ΔACK vuông tại C
=>CA⊥CK
mà BH⊥CA
nên BH//CK
Xét tứ giác BHCK có
BH//CK
BK//CH
Do đó: BHCK là hình bình hành
=>HK cắt BC tại trung điểm của mỗi đường
mà N là trung điểm của BC
nên N là trung điểm của HK
Xét ΔAHK có
O,N lần lượt là trung điểm của KA,KH
=>ON là đường trung bình của ΔAHK
=>\(ON=\frac{AH}{2}\)
Xét ΔBAC có
M,N lần lượt là trung điểm của BA,BC
=>MN là đường trung bình của ΔABC
=>MN//AC và \(MN=\frac{AC}{2}\)
\(ON\cdot AC=\frac12\cdot AH\cdot AC\)
\(MN\cdot AH=\frac{AC}{2}\cdot AH=\frac12\cdot AH\cdot AC\)
Do đó: \(ON\cdot AC=MN\cdot AH\)
b: Xét ΔABC có
AN là đường trung tuyến
G là trọng tâm
Do đó: \(AG=\frac23AN\)
Xét ΔAHK có
AN là đường trung tuyến
\(AG=\frac23AN\)
Do đó: G là trọng tâm của ΔAHK
Xét ΔAHK có
G là trọng tâm
O là trung điểm của AK
DO đó: H,G,O thẳng hàng
