Bài 3:
a: Xét ΔAHC có KF//HC
nên \(\dfrac{AK}{AH}=\dfrac{AF}{AC}\)
=>\(\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{1}{3}\)
Xét ΔABC có EF//BC
nên \(\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{AF}{AC}\)
=>\(\dfrac{EF}{12}=\dfrac{1}{3}\)
=>\(EF=12\cdot\dfrac{1}{3}=4\left(cm\right)\)
Xét ΔAHC có IN//HC
nên \(\dfrac{AI}{AH}=\dfrac{AN}{AC}\)
=>\(\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{2}{3}\)
Xét ΔABC có MN//BC
nên \(\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AN}{AC}\)
=>\(\dfrac{MN}{12}=\dfrac{2}{3}\)
=>\(MN=12\cdot\dfrac{2}{3}=8\left(cm\right)\)
b: Xét ΔAEF và ΔABC có
\(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)(hai góc đồng vị, EF//BC)
\(\widehat{FAE}\) chung
Do đó: ΔAEF đồng dạng với ΔABC
=>\(\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{AF}{AC}\right)^2=\dfrac{1}{9}\)
=>\(S_{AEF}=\dfrac{1}{9}\cdot240=\dfrac{240}{9}\left(cm^2\right)\)
Xét ΔAMN và ΔABC có
\(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)(hai góc đồng vị, MN//BC)
\(\widehat{MAN}\) chung
Do đó: ΔAMN đồng dạng với ΔABC
=>\(\dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{AN}{AC}\right)^2=\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{4}{9}\)
=>\(S_{AMN}=\dfrac{4}{9}\cdot240=\dfrac{960}{9}=\dfrac{320}{3}\left(cm^2\right)\)
Ta có: \(S_{AEF}+S_{MEFN}=S_{AMN}\)
=>\(S_{MEFN}=\dfrac{320}{3}-\dfrac{240}{9}=\dfrac{720}{9}=80\left(cm^2\right)\)
Bài 4:
a: Xét ΔBAD có BA=BD
nên ΔBAD cân tại B
Ta có: ΔBAD cân tại B
mà BH là đường cao
nên H là trung điểm của AD
Xét ΔCAE có CA=CE
nên ΔCAE cân tại C
Ta có: ΔCAE cân tại C
mà CK là đường cao
nên K là trung điểm của AE
Xét ΔADE có
H,K lần lượt là trung điểm của AD,AE
=>HK là đường trung bình của ΔADE
=>HK//DE và \(HK=\dfrac{1}{2}DE\)
b: \(C_{ABC}=10\left(cm\right)\)
=>AB+AC+BC=10
=>DB+BC+CE=10
=>DE=10(cm)
=>\(HK=\dfrac{1}{2}\cdot DE=5\left(cm\right)\)
