B: Tự luận
Bài 2:
a: Xét ΔBAD và ΔBED có
BA=BE
\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)
BD chung
Do đó: ΔBAD=ΔBED
=>\(\widehat{BAD}=\widehat{BED}=90^0\)
=>DE\(\perp\)EB tại E
=>DE\(\perp\)BC tại E
b: Ta có: ΔBAD=ΔBED
=>DA=DE
=>D nằm trên đường trung trực của AE(1)
Ta có: BA=BE
=>B nằm trên đường trung trực của AE(2)
Từ (1) và (2) suy ra BD là đường trung trực của AE
c: Xét ΔBAE có BA=BE
nên ΔBAE cân tại B
Ta có: \(\widehat{CAE}+\widehat{BAE}=\widehat{BAC}=90^0\)
\(\widehat{HAE}+\widehat{BEA}=90^0\)(ΔHAE vuông tại H)
mà \(\widehat{BAE}=\widehat{BEA}\)
nên \(\widehat{CAE}=\widehat{HAE}\)
=>AE là phân giác của góc HAC
Xét ΔAHC vuông tại H có AC là cạnh huyền
nên AH<AC
Xét ΔAHC có AE là phân giác
nên \(\dfrac{EH}{AH}=\dfrac{EC}{AC}\)
mà AH<AC
nên EH<EC
Bài 3:
a: Ta có: ΔABC vuông tại C
=>\(\widehat{CAB}+\widehat{CBA}=90^0\)
=>\(\widehat{ABC}+60^0=90^0\)
=>\(\widehat{ABC}=30^0\left(3\right)\)
Ta có: AE là phân giác của góc CAB
=>\(\widehat{BAE}=\widehat{CAE}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=30^0\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{ABC}=\widehat{BAE}=\widehat{CAE}\)
Xét ΔEAB có \(\widehat{EAB}=\widehat{EBA}=30^0\)
nên ΔEAB cân tại E
Ta có: ΔEAB cân tại E
mà EK là đường cao
nên K là trung điểm của AB
=>KA=KB
d: Xét ΔECA vuông tại C và ΔEDB vuông tại D có
EA=EB
\(\widehat{AEC}=\widehat{BED}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔECA=ΔEDB
=>EC=ED
Ta có: EC+EB=BC
EA+ED=AD
mà EC=ED
và EB=EA
nên BC=AD
