Question

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz, ta có:

\(\dfrac{1}{a^2+b}+\dfrac{1}{b^2+a}=\dfrac{1+b}{\left(a^2+b\right)\left(1+b\right)}+\dfrac{1+a}{\left(b^2+a\right)\left(1+a\right)}\le\dfrac{1+b}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{1+a}{\left(a+b\right)^2}\)

Từ điều kiện đề bài, ta có: \(\dfrac{a+b+2}{\left(a+b\right)^2}\ge1\Rightarrow a+b+2\ge\left(a+b\right)^2\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)