a: Xét ΔABC có
D,E lần lượt là trung điểm của AB,AC
=>DE là đường trung bình
=>DE//BC và \(DE=\dfrac{BC}{2}\)
\(DE=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{10}{2}=5\left(cm\right)\)
b: Xét tứ giác BDEC có DE//BC
nên BDEC là hình thang
Hình thang BDEC có \(\widehat{DEC}=\widehat{ECB}\)
nên BDEC là hình thang cân
c: ΔABC cân tại A
mà AK là đường trung tuyến
nên AK\(\perp\)BC và AK là phân giác của \(\widehat{BAC}\)
D là trung điểm của AB nên \(DA=DB=\dfrac{AB}{2}\)
E là trung điểm của AC nên \(EA=EC=\dfrac{AC}{2}\)
mà AB=AC
nên DA=DB=EA=EC
Xét ΔADK và ΔAEK có
AD=AE
\(\widehat{DAK}=\widehat{EAK}\)
AK chung
Do đó: ΔADK=ΔAEK
=>KD=KE
=>ΔKDE cân tại K
KD=KE
nên K nằm trên đường trung trực của DE(1)
AD=AE
nên A nằm trên đường trung trực của DE(2)
Từ (1) và (2) suy ra AK là đường trung trực của DE
=>AK\(\perp\)DE tại trung điểm của DE
=>AK\(\perp\)DE tại H và H là trung điểm của DE
ΔAKC vuông tại K
mà KE là đường trung tuyến
nên KE=AE
ΔEAK cân tại E
mà EH là đường cao
nên H là trung điểm của AK
Xét ΔABK có
D,H lần lượt là trung điểm của AB,AK
=>DH là đường trung bình của ΔABK
=>DH//BK và \(DH=\dfrac{BK}{2}\)
DH//BK
F\(\in\)BK
DO đó: DH//FK
\(DH=\dfrac{BK}{2}\)
\(FK=\dfrac{BK}{2}\)
Do đó: DH=FK
Xét tứ giác DHKF có
DH//FK
DH=FK
Do đó: DHKF là hình bình hành
Hình bình hành DHKF có \(\widehat{HKF}=90^0\)
nên DHKF là hình chữ nhật
d: DH=BK/2
DH=DE/2
Do đó: DE=BK
Xét tứ giác DEKB có
DE//BK
DE=BK
Do đó: DEKB là hình bình hành
=>DK cắt EB tại trung điểm của mỗi đường(3)
DHKF là hình bình hành
=>DK cắt HF tại trung điểm của mỗi đường(4)
Từ (3) và (4) suy ra EB,HF,DK đồng quy
