a:
Gọi O là giao điểm của AC và MN
M là trung điểm của AD
=>\(AM=MD=\dfrac{AD}{2}\)(1)
N là trung điểm của BC
=>\(NB=NC=\dfrac{BC}{2}\)(2)
ABCD là hình chữ nhật
=>AD=BC(3)
Từ (1),(2),(3) suy ra AM=MD=BN=NC
Xét tứ giác ABNM có
AM//BN
AM=BN
Do đó: ABNM là hình bình hành
=>MN//BA
mà BA//CD
nên MN//CD
Xét tứ giác AMCN có
AM//CN
AM=CN
Do đó: AMCN là hình bình hành
=>AC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AC và MN
Xét ΔQPC có MO//PC
nên \(\dfrac{MO}{PC}=\dfrac{QO}{QC}\left(4\right)\)
Xét ΔQCR có ON//CR
nên \(\dfrac{ON}{CR}=\dfrac{QO}{QC}\left(5\right)\)
Từ (4),(5) suy ra \(\dfrac{MO}{PC}=\dfrac{ON}{CR}\)
mà MO=ON
nên PC=CR
=>C là trung điểm của PR
Xét ΔNPR có
NC là đường cao
NC là đường trung tuyến
Do đó: ΔNPR cân tại N
b: MN//PR
=>\(\widehat{QNM}=\widehat{QRP}\)(hai góc đồng vị) và \(\widehat{MNP}=\widehat{NPR}\)(hai góc so le trong)
mà \(\widehat{QRP}=\widehat{NPR}\)
nên \(\widehat{QNM}=\widehat{MNP}\)
=>MN là phân giác của góc QNP
Xét ΔQNP có NM là phân giác
nên \(\dfrac{QM}{MP}=\dfrac{QN}{NP}\)(6)
Ta có: MN\(\perp\)NS
MN là phân giác của góc QNP
Do đó: NS là phân giác của góc ngoài tại đỉnh N của ΔQNP
Xét ΔQNP có NS là phân giác góc ngoài tại đỉnh N
nên \(\dfrac{SQ}{SP}=\dfrac{NQ}{NP}\left(7\right)\)
Từ (6),(7) suy ra \(\dfrac{MQ}{MP}=\dfrac{SQ}{SP}\)
