a: Xét tứ giác AMHN có
\(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{MAN}=90^0\)
=>AMHN là hình chữ nhật
b: AMHN là hình chữ nhật
=>AN//HM và AN=HM
AN//HM
\(M\in\)HP
Do đó: AN//MP
AN=HM
HM=MP
Do đó: AN=MP
Xét tứ giác ANMP có
AN//MP
AN=MP
Do đó: ANMP là hình bình hành
c: Xét tứ giác AHKC có
I là trung điểm chung của AK và HC
=>AHKC là hình bình hành
=>KH//AC và KH=AC
KH//AC
HM//AC
KH,HM có điểm chung là H
Do đó: K,H,M thẳng hàng
=>KM//NC
AHKC là hình bình hành
=>\(\widehat{CAH}=\widehat{CKH}\)
=>\(\widehat{NAH}=\widehat{CKM}\left(1\right)\)
ANHM là hình chữ nhật
=>\(\widehat{NAH}=\widehat{NMH}\)
=>\(\widehat{NAH}=\widehat{NMK}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{CKM}=\widehat{NMK}\)
Xét tứ giác MNCK có MK//NC
nên MNCK là hình thang
Hình thang MNCK có \(\widehat{CKM}=\widehat{NMK}\)
nên MNCK là hình thang cân
d: AMHN là hình chữ nhật
=>AH cắt MN tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AH và MN
Xét ΔCAH có
AI,CO là các đường trung tuyến
AI cắt CO tại D
Do đó: D là trọng tâm của ΔCAH
=>\(AD=\dfrac{2}{3}AI=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot AK=\dfrac{1}{3}AK\)
=>AK=3AD
