Bài 4:
a: \(AM=MB=\dfrac{AB}{2}\)
\(DN=NC=\dfrac{DC}{2}\)
mà AB=CD
nên AM=MB=ND=NC
Xét tứ giác AMND có
AM//ND
AM=ND
Do đó: AMND là hình bình hành
=>MN//AD
mà AD\(\perp\)AC
nên MN\(\perp\)AC
b: Xét tứ giác AMCN có
AM//CN
AM=CN
Do đó: AMCN là hình bình hành
mà MN\(\perp\)AC
nên AMCN là hình thoi
3:
a: Xét ΔABF vuông tại F và ΔADE vuông tại E có
AB=AD
\(\widehat{B}=\widehat{D}\)
Do đó: ΔABF=ΔADE
=>AF=AE
b: Xét ΔBAC có BA=BC và \(\widehat{B}=60^0\)
nên ΔBAC đều
Xét ΔDAC có DA=DC và \(\widehat{D}=60^0\)
nên ΔDAC đều
ΔBAC đều
mà AF là đường cao
nên AF là phân giác của \(\widehat{BAC}\)
ΔDAC đều
mà AE là đường cao
nên AE là phân giác của \(\widehat{CAD}\)
\(\widehat{FAE}=\widehat{FAC}+\widehat{EAC}=30^0+30^0=60^0\)
Xét ΔAFE có AF=AE và \(\widehat{FAE}=60^0\)
nên ΔAFE đều
c: ΔABC đều có AF là đường cao
nên \(AF=BC\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\left(cm\right)\)
Chu vi tam giác AEF là: \(2\sqrt{3}\cdot3=6\sqrt{3}\left(cm\right)\)
