Gọi d là ƯCLN\(\left(n+8;2n-5\right)\)
\(\Rightarrow n+8\) ⋮ d và \(2n-5\) ⋮ d
\(\Rightarrow2\left(n+8\right)\) ⋮ d và \(2n-5\) ⋮ d
\(\Rightarrow\left(2n+16\right)-\left(2n-5\right)\) ⋮ d
\(\Rightarrow2n+16-2n+5\) ⋮ d
\(\Rightarrow21\) ⋮ d
Mà: Ư(21)\(=\left\{1;3;7;21\right\}\)
Khi d = 7 thì:
\(n+8\) ⋮ 7
Gọi k là các số tự nhiên \(\left\{1;2;3;...|k\in N\right\}\)
\(\Rightarrow n+8=7k\)
\(\Rightarrow n=7k-8\)
Lại có: \(2n-5\)
\(\Rightarrow2\left(7k-8\right)-5=14k-16-5\)
\(=14k-21=7\cdot\left(2k-3\right)\) ⋮ 7
Tượng tự:
Khi d = 3
\(2\cdot\left(3k-8\right)-5=6k-16-5=6k-21\)
\(=3\cdot\left(2k-7\right)\) ⋮ 3
Khi d = 21
\(2\cdot\left(21k-8\right)-5=42k-16-5=42k-21\)
\(\Rightarrow21\cdot\left(2k-1\right)\) ⋮ 21
Vậy \(\dfrac{n+8}{2n-5}\) là số nguyên tố khi:
\(n\ne\left\{2k-1;2k-7;2k-3\right\}\)