a) Để phương trình có nghiệm kép, ta cần delta (Δ) của phương trình bằng 0. Delta được tính bằng công thức: Δ = (2m+1)² - 4(m²) = 4m² + 4m + 1 - 4m² = 4m + 1.
Để Δ = 0, ta giải phương trình 4m + 1 = 0:
4m = -1
m = -1/4
Vậy, để phương trình có nghiệm kép, m = -1/4. Nghiệm kép của phương trình là x = -b/2a = -(2m+1)/(2) = -(2(-1/4)+1)/(2) = 1/2.
b) Để phương trình x² - 2x - m + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn x₁² + x₂² = 20, ta cần tìm m sao cho Δ = b² - 4ac > 0 và x₁² + x₂² = 20.
Từ phương trình x² - 2x - m + 3 = 0, ta có a = 1, b = -2, c = -m + 3.
Áp dụng Δ = b² - 4ac > 0:
(-2)² - 4(1)(-m+3) > 0
4 + 4m - 12 > 0
4m - 8 > 0
4m > 8
m > 2
Từ x₁² + x₂² = 20, ta có:
x₁² + x₂² = (-b/a)² - 2(c/a) = (2/1)² - 2(-m+3)/1 = 4 - 2(-m+3) = 4 + 2m - 6 = 2m - 2 = 20
2m - 2 = 20
2m = 22
m = 11
Vậy, để phương trình x² - 2x - m + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn x₁² + x₂² = 20, m = 11.
