a, F(\(x\)) = a\(x^2\) + b\(x\) + c (a; b; c \(\in\) Q và a \(\ne\) 0)
Vì F(\(x\)) có nghiệm là \(\sqrt{2}\) ta có F(\(\sqrt{2}\)) = 0
⇔ a.(\(\sqrt{2}\))2 + b.(\(\sqrt{2}\)) + c = 0
2a + \(\sqrt{2}\)b + c = 0 ⇒ c = - (2a + \(\sqrt{2}\)b) (1)
a\(x^2\) + b\(x\) + c = 0
a(\(x^2\) + 2. \(\dfrac{b}{2a}\)\(x\) + \(\dfrac{b^2}{4a^2}\)) - \(\dfrac{b^2-4ac}{4a}\) = 0
a.(\(x\) + \(\dfrac{b}{2a}\))2 = \(\dfrac{b^2-4ac}{4a}\)
(\(x\) + \(\dfrac{b}{2a}\) )2 = \(\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\)
\(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\x=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{matrix}\right.\)
Thay (1) vào \(x\) = \(\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) ta có
\(x\) = \(\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4a\left(2a+\sqrt{2}b\right)}}{2a}\)
a) \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c=0\)
\(\Rightarrow f\left(x_1=\sqrt[]{2}\right)=2a+b\sqrt[]{2}+c=0\left(1\right)\)
\(S=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\Rightarrow x_2=-\dfrac{b}{a}-x_1=-\dfrac{b}{a}-\sqrt[]{2}\)
\(P=x_1.x_2=\dfrac{c}{a}\Rightarrow x_2=\dfrac{c}{a.x_1}=\dfrac{c}{a.\sqrt[]{2}}\)
Vậy nghiệm còn lại là \(-\dfrac{b}{a}-\sqrt[]{2}\) hay \(\dfrac{c}{a.\sqrt[]{2}}\left(a,b,c\in Q;a\ne0\right)\)
b) \(P\left(x\right)=x^2-px+q\)
\(S=x_1+x_2=p;P=x_1.x_2=q\)
Để P(x) có nghiệm \(x_1;x_2\) đều là số nguyên
\(\Rightarrow S=p;P=q\) đều là số nguyên
mà \(p,q\) là số nguyên tố
\(\Rightarrow p;q⋮1\)
\(\Rightarrow\left(p;q\right)\in\left\{-1;1\right\}\Rightarrow p=\pm1;q=\pm1\)
Ta thay \(p=\pm1;q=\pm1\) vào \(P\left(x\right)=x^2-px+p=0\) ta được \(\Delta=5;\Delta=-4< 0\) \(\Rightarrow p,q\) không thỏa nghiệm đa thức nguyên
\(\Rightarrow\left(p;q\right)\in\varnothing\)
