Question

Answer 1

Bài 1:

Ta thấy: $\sqrt{x}\geq 0$ với mọi $x\geq 0$

$\Rightarrow \sqrt{x}+3\geq 3$
$\Rightarrow \frac{3}{\sqrt{x}+3}\leq 1$

$\Rightarrow P=\frac{-3}{\sqrt{x}+3}\geq -1$

Vậy $P_{\min}=-1$. Giá trị này đạt tại $x=0$

Answer 2

2.

$P=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{x}+2-3}{\sqrt{x}+2}=1-\frac{3}{\sqrt{x}+2}$

Ta thấy $\sqrt{x}\geq 0$ với mọi $x\geq 0$

$\Rightarrow \sqrt{x}+2\geq 2$

$\Rightarrow \frac{3}{\sqrt{x}+2}\leq \frac{3}{2}$

$\Rightarrow P=1-\frac{3}{\sqrt{x}+2}\geq 1-\frac{3}{2}=\frac{-1}{2}$

Vậy $P_{\min}=\frac{-1}{2}$ khi $x=0$

 

Answer 3

3. $P=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+20}=\frac{\sqrt{x}+20-21}{\sqrt{x}+20}$

$=1-\frac{21}{\sqrt{x}+20}$

Vì $\sqrt{x}\geq 0$ với mọi $x\geq 0$

$\Rightarrow \sqrt{x}+20\geq 20$

$\Rightarrow \frac{21}{\sqrt{x}+20}\leq \frac{21}{20}$
$\Rightarrow P=1-\frac{21}{\sqrt{x}+20}\geq 1-\frac{21}{20}=\frac{-1}{20}$

Vậy $P_{\min}=\frac{-1}{20}$. Giá trị này đạt tại $x=0$

 

Answer 4

4.

$P=\frac{5-(2+\sqrt{x})}{\sqrt{x}+2}=\frac{5}{\sqrt{x}+2}-1$

Vì $\sqrt{x}\geq 0$ với mọi $x\geq 0$

$\Rightarrow \sqrt{x}+2\geq 2$ với mọi $x\geq 2$
$\Rightarrow \frac{5}{\sqrt{x}+2}\leq \frac{5}{2}$

$\Rightarrow P=\frac{5}{\sqrt{x}+2}-1\leq \frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}$
Vậy $P_{\max}=\frac{3}{2}$. Giá trị này đạt tại $x=0$

Answer 5

5.

$P=\frac{x+16}{\sqrt{x}+3}=\frac{(x-9)+25}{\sqrt{x}+3}$

$=\frac{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)+25}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}-3+\frac{25}{\sqrt{x}+3}$

$=(\sqrt{x}+3)+\frac{25}{\sqrt{x}+3}-6$

$\geq 2\sqrt{(\sqrt{x}+3).\frac{25}{\sqrt{x}+3}}-6$ (áp dụng BĐT Cô-si)

$=10-6=4$
Vậy $P_{\min}=4$. Giá trị này đạt tại $\sqrt{x}+3=\frac{25}{\sqrt{x}+3}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x}+3=5\Leftrightarrow x=4$

Answer 6

6.

$P^2=x-5+23-x+2\sqrt{(x-5)(23-x)}=18+2\sqrt{(x-5)(23-x)}\geq 18$ do $\sqrt{(x-5)(23-x)}\geq 0$

$\Rightarrow P^2-18\geq 0$

$\Leftrightarrow (P-3\sqrt{2})(P+3\sqrt{2})\geq 0$

$\Leftrightarrow P-3\sqrt{2}\geq 0$ (do $P+3\sqrt{2}>0$ với mọi $P\geq 0$)

$\Leftrightarrow P\geq 3\sqrt{2}$

Vậy $P_{\min}=3\sqrt{2}$.

Giá trị này đạt tại $\sqrt{(x-5)(23-x)}=0$

$\Leftrightarrow x=5$ hoặc $x=23$

 

Answer 7

7.

$P^2=3x-5+7-3x+2\sqrt{(3x-5)(7-3x)}=2+2\sqrt{(3x-5)(7-3x)}\geq 2$ do $\sqrt{(3x-5)(7-3x)}\geq 0$

$\Leftrightarrow P^2-2\geq 0$

$\Leftrightarrow (P-\sqrt{2})(P+\sqrt{2})\geq 0$

$\Leftrightarrow P-\sqrt{2}\geq 0$ (do $P+\sqrt{2}>0$ với mọi $P\geq 0$)

$\Leftrightarrow P\geq \sqrt{2}$

Vậy $P_{\min}=\sqrt{2}$. Giá trị này đạt tại $\sqrt{(3x-5)(7-3x)}=0$

$\Leftrightarrow x=\frac{5}{3}$ hoặc $x=\frac{7}{3}$