Gọi E là giao điểm của AD và BC
Xét ΔEDC có AB//DC
nên \(\frac{EA}{ED}=\frac{EB}{EC}=\frac{AB}{DC}\)
=>\(\frac{EA}{ED}=\frac{2\cdot AI}{2\cdot DK}=\frac{AI}{DK}\)
Gọi M là giao điểm của EI và DC
Xét ΔEDM có AI//DM
nên \(\frac{AI}{DM}=\frac{EI}{EM}\left(1\right)\)
Xét ΔEMC có IB//MC
nên \(\frac{IB}{MC}=\frac{EI}{EM}\) (2)
Từ (1),(2) suy ra \(\frac{AI}{DM}=\frac{IB}{MC}\)
mà AI=IB
nên DM=MC
=>M là trung điểm của DC
=>M trùng với K
=>E,I,K thẳng hàng
Ta có: AB=6cm; CD=15cm
=>\(\frac{AB}{CD}=\frac{6}{15}=\frac25\)
=>\(\frac{2\cdot AI}{2\cdot DK}=\frac25\)
=>\(\frac{AI}{DK}=\frac25\)
Xét ΔEDC có \(\hat{EDC}+\hat{ECD}=90^0\)
nên ΔEDC vuông tại E
=>\(\hat{DEC}=90^0\)
=>\(\hat{AEB}=90^0\)
ΔEAB vuông tại E
mà EI là đường trung tuyến
nên \(EI=\frac{AB}{2}=\frac62=3\left(\operatorname{cm}\right)\)
Xét ΔEDK có AI//DK
nên \(\frac{AI}{DK}=\frac{EI}{EK}\)
=>\(\frac{EI}{EK}=\frac25\)
=>\(\frac{3}{3+IK}=\frac25\)
=>IK+3=7,5
=>IK=4,5(cm)
