Em tự vẽ hình nhé!
a. Xét tứ giác MAOB có:
\(\widehat{MAO}=90^o,\widehat{MBO}=90^o\) (tính chất tiếp tuyến)
=> \(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=180^o\)
Do đó MAOB nội tiếp
Xét tam giác NAC và tam giác NBA có:
\(\widehat{ANC}=\widehat{BNA}\)
\(\widehat{NAC}=\widehat{NBA}=\dfrac{1}{2}sđAC\) (hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
Do đó tam giác NAC đồng dạng tam giác NBA (g.g)
\(\Rightarrow\dfrac{NA}{NB}=\dfrac{NC}{NA}\Leftrightarrow NA^2=NB.NC\)
b.
Ta có \(NA^2=NB.NC\left(cmt\right)\)
\(\Leftrightarrow NM^2=NB.NC\) (do N là trung điểm của AM)
\(\Rightarrow\dfrac{NM}{NB}=\dfrac{NC}{NM}\)
Xét tam giác NMC và tam giác NBM có:
\(\dfrac{NM}{NB}=\dfrac{NC}{NM}\) (cmt)
\(\widehat{CNM}=\widehat{MNB}\)
Do đó tam giác NMC đồng dạng tam giác NBM (g.g)
\(\Rightarrow\widehat{NMC}=\widehat{CBM}\)
Mà \(\widehat{CBM}=\widehat{MDB}=\dfrac{1}{2}sđCB\)
\(\Rightarrow\widehat{NMC}=\widehat{MDB}\)
Mà hai góc trên ở vị trí so le trong nên BD// AM.
c.
Xét (O) có I là trung điểm CD (gt)
\(\Rightarrow OI\perp CD\) (định lý đường kính đi qua trung điểm dây cung)
=> tam giác OIM vuông tại I nhận OM là cạnh huyền.
=> 3 điểm O, I, M thuộc đường tròn đường kính OM
Mà M, A, O, B thuộc đường tròn đường kính OM (tính chất tứ giác nội tiếp)
=> O, I, M, A, B cùng thuộc đường tròn đường kính OM.
\(\Rightarrow\widehat{MIB}=\widehat{BAM}\) (cùng chắn cung NB)
Mà \(\widehat{ABM}=\widehat{BAM}\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau => MA = MB => tam giác MAB cân)
\(\Rightarrow\widehat{MIB}=\widehat{ABM}\)
Xét tam giác MBK và tam giác MIB có:
\(\widehat{BMK}=\widehat{IMB}\)
\(\widehat{MBK}=\widehat{MIB}\left(cmt\right)\)
Do đó tam giác MBK đồng dạng tam giác MIB (g.g)
\(\Rightarrow\dfrac{MB}{MI}=\dfrac{MK}{MB}\Leftrightarrow MB^2=MI.MK\left(1\right)\)
Xét tam giác MBC và tam giác MDB có:
\(\widehat{BMC}=\widehat{DMB}\)
\(\widehat{MBC}=\widehat{MDB}\left(cmt\right)\)
Do đó tam giác MBC đồng dạng tam giác MDB (g.g)
\(\Rightarrow\dfrac{MB}{MD}=\dfrac{MC}{MB}\Leftrightarrow MB^2=MC.MD\left(2\right)\)
Từ (1), (2) có \(MC.MD=MI.MK\)
