Question

Answer 1

Bài 3: 
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$1=a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq \frac{1}{4}$

$a^2+b^2+\frac{1}{16ab}+\frac{1}{16ab}\geq 4\sqrt[4]{\frac{1}{16^2}}=1(1)$

$\frac{7}{8ab}\geq \frac{7}{8.\frac{1}{4}}=\frac{7}{2}$ do $ab\leq \frac{1}{4}(2)$

Lấy $(1)+(2)$ theo vế ta có:
$a^2+b^2+\frac{1}{ab}\geq \frac{9}{2}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$

 

Answer 2

Bài 5:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\geq 2\sqrt{b}$

$\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\geq 2\sqrt{a}$

Cộng 2 BĐT trên theo vế và thu gọn ta được:

$\frac{b}{\sqrt{a}}+\frac{a}{\sqrt{b}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b$

Answer 3

Bài 5:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$x^4+1+1+1\geq 4\sqrt[4]{x^4}=4|x|\geq 4x$

$y^4+1+1+1\geq 4|y|\geq 4y$

$\Rightarrow x^4+y^4+6\geq 4(x+y)=8$

$\Rightarrow x^4+y^4\geq 2$ 

Vậy $x^4+y^4$ đạt gtnn là $2$ tại $x=y=1$