a: ABCD là hình chữ nhật
=>AB=CD
=>CD=a
ABCD là hình chữ nhật
=>AD=BC
=>AD=BC=3a
ΔABC vuông tại B
=>\(BA^2+BC^2=AC^2\)
=>\(AC^2=\left(3a\right)^2+a^2=10a^2\)
=>\(AC=a\sqrt{10}\)
ABCD là hình chữ nhật
=>\(BD=AC=a\sqrt{10}\)
1: \(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}\right|=\left|\overrightarrow{DA}\right|=DA=3a\)
2: ABCD là hình chữ nhật
=>O là trung điểm chung của AC và BD
=>\(OA=OC=OB=OD=\frac{a\sqrt{10}}{2}\)
\(\left|\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right|=\left|\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AO}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB=a\)
3: \(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=a\sqrt{10}\)
4:
Gọi H là trung điểm của OB
=>\(BH=HO=\frac{OB}{2}=\frac{a\sqrt{10}}{4}\)
Xét ΔABD vuông tại A có cos ABD=\(\frac{AB}{BD}=\frac{a}{a\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\)
Xét ΔABH có \(cosABH=\frac{BA^2+BH^2-AH^2}{2\cdot BA\cdot BH}\)
=>\(\left(\frac{a\sqrt{10}}{4}\right)^2+a^2-AH^2=2\cdot\frac{a\sqrt{10}}{4}\cdot a\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{2a^2}{4}=\frac{a^2}{2}\)
=>\(\frac{10a^2}{16}+a^2-AH^2=\frac{a^2}{2}\)
=>\(AH^2=\frac{10}{16}a^2+\frac12a^2=\frac{18}{16}a^2=\frac98a^2\)
=>\(AH=\frac{3a}{2\sqrt2}\)
\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AO}\right|=\left|2\cdot\overrightarrow{AH}\right|=2\cdot AH\)
\(=2\cdot\frac{3a}{2\sqrt2}=\frac{3a}{\sqrt2}\)
5: \(\left|\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{CD}\right|=\left|\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DO}\right|=\left|\overrightarrow{CO}\right|=\frac{a\sqrt{10}}{2}\)
6: \(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=a\sqrt{10}\)
7:
Gọi X là trung điểm của BC
=>\(BX=\frac{BC}{2}=1,5a\)
ΔABX vuông tại B
=>\(BA^2+BX^2=AX^2\)
=>\(XA^2=a^2+\left(1,5a\right)^2=3,25a^2=\frac{13}{4}a^2\)
=>\(AX=\frac{a\sqrt{13}}{2}\)
\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|2\cdot\overrightarrow{AX}\right|=2\cdot AX=a\sqrt{13}\)
8: \(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}\right|=\left|\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|=a\sqrt{10}\)
b:
\(\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}\)
\(=\overrightarrow{AB}+\frac23\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac23\cdot\overrightarrow{AD}\)
\(\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BN}\)
\(=\frac12\cdot\overrightarrow{DB}+\frac23\cdot\overrightarrow{BC}+\frac12\left(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}\right)+\frac23\cdot\overrightarrow{BC}\)
\(=\frac12\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\right)+\frac23\overrightarrow{BC}=\frac12\cdot\overrightarrow{AB}+\frac16\cdot\overrightarrow{BC}=\frac12\cdot\overrightarrow{AB}+\frac16\cdot\overrightarrow{AD}\)
\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BN}=\frac12\cdot\overrightarrow{BA}+\frac23\cdot\overrightarrow{BC}=-\frac12\cdot\overrightarrow{AB}+\frac23\cdot\overrightarrow{AD}\)
