Đặt \(A=\frac{x^2+10x+3}{x^2+10x+8}\)
=>\(A\left(x^2+10x+8\right)=x^2+10x+3\)
=>\(x^2\left(A-1\right)+10A\cdot x-10x+8A-3=0\)
=>\(x^2\left(A-1\right)+x\left(10A-10\right)+8A-3=0\) (1)
\(\Delta=\left(10A-10\right)^2-4\left(A-1\right)\left(8A-3\right)\)
\(=100A^2-200A+100-4\cdot\left(8A^2-3A-8A+3\right)\)
\(=100A^2-200A+100-32A^2+44A-12=68A^2-156A+88\)
\(=68A^2-68A-88A+88=\left(A-1\right)\left(68A-88\right)\)
Để (1) có nghiệm thì Δ<=0
=>(A-1)(68A-88)<=0
=>\(1\le A<=\frac{88}{68}=\frac{22}{17}\)
=>GTLN của A là \(\frac{22}{17}\) khi \(\frac{x^2+10x+3}{x^2+10x+8}=\frac{22}{17}\)
=>\(22\left(x^2+10x+8\right)=17\left(x^2+10x+3\right)\)
=>\(22x^2+220x+176=17x^2+170x+51\)
=>\(5x^2+50x+125=0\)
=>\(x^2+10x+25=0\)
=>\(\left(x+5\right)^2=0\)
=>x+5=0
=>x=-5
GTNN của A là 1 khi \(x^2+10x+3=x^2+10x+8\)
=>3=8(vô lý)
=>A không có GTNN
Vậy: GTLN của A là 22/17 khi x=-5
