Lời giải:
a.
Áp dụng định lý Pitago:
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$ (cm)
$AH=\frac{2S_{ABC}}{BC}=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{6.8}{10}=4,8$ (cm)
$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{6^2-4,8^2}=3,6$ (cm)
$CH=BC-BH=10-3,6=6,4$ (cm)
b.
Áp dụng công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông với tam giác $ABH$ và $ACH$ ta có:
$AD.AB=AH^2$
$AE.AC=AH^2$
$\Rightarrow AD.AB=AE.AC$ (đpcm)
c.
Tứ giác $ADHE$ có 3 góc vuông $\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{E}=90^0$ nên là hình chữ nhật.
$\Rightarrow HA=DE$
Áp dụng công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông với tam giác $ABH$ và $ACH$ ta có:
$DA.DB=HD^2$
$EA.EC=HE^2$
$\Rightarrow DA.DB+EA.EC=HD^2+HE^2=DE^2=AH^2=4,8^2=23,04$ (cm)
d.
Dùng tính chất đường trung tuyến đối diện cạnh huyền trong tam giác vuông thì bằng một nửa cạnh huyền thì:
$DI=BI=IH$
$EK=HK=KC$
$\Rightarrow KEC$ cân tại $K$ và $BDI$ cân tại $I$
Kéo dài $EK$ cắt $AB$ tại $T$
Ta thấy:
$\widehat{T_1}=90^0-\widehat{E_1}=90^0-\widehat{E_2}=90^0-\widehat{C}$ (do $KEC$ cân tại $K$)
$=\widehat{B}=\widehat{IDB}$ (do $BDI$ cân tại $I$)
Mà góc $\widehat{T_1}$ và $\widehat{IDB}$ là 2 góc đồng vị nên $DI\parallel EK(*)$
Mặt khác:
$\widehat{KED}=\widehat{HEK}+\widehat{DEH}=(90^0-\widehat{KEC})+\widehat{DAH}$
$=90^0-\widehat{C}+\widehat{BAH}=90^0-\widehat{C}+\widehat{C}=90^0(**)$
Từ $(*); (**)$ suy ra $DEKI$ là hình thang vuông
$S_{DEKI}=\frac{(DI+EK).DE}{2}=\frac{(BH+HC).AH}{4}=\frac{BC.AH}{4}=\frac{10.4,8}{4}=12$ (cm)
