a) - Ta có:
\(AH\perp BC\) (H là trực tâm của \(\Delta ABC\)).
\(ON\perp BC\) (O đối xứng với N qua BC).
\(\Rightarrow\)AH//ON.
* CO cắt đg tròn \(\left(O;R\right)\) tại D.
- Đg tròn \(\left(O;R\right)\) có: CD là đg kính và \(A\in\left(O;R\right)\).
\(\Rightarrow CA\perp AD\) tại A.
Mà \(BH\perp CA\) (H là trực tâm của \(\Delta ABC\)).
\(\Rightarrow\)AD//BH.
- \(\Delta BCD\) có: O là trung điểm CD, M là trung điểm BC.
\(\Rightarrow\)OM là đg trung bình của \(\Delta BCD\).
\(\Rightarrow\)OM//BD, \(BD=2OM\)
Mà OM//AH \(\Rightarrow\)BD//AH.
- Tứ giác ADBH có: BD//AH, AD//BH.
\(\Rightarrow\)ADBH là hình bình hành.
\(\Rightarrow AH=BD\) mà \(BD=2OM\)
\(\Rightarrow AH=2OM\) mà \(2OM=ON\) (O đối xứng với N qua AB).
\(\Rightarrow AH=ON\)
-Tứ giác AHNO có: \(AH=ON\), AH//ON.
\(\Rightarrow\)AHNO là hình bình hành.
b) - AHNO là hình bình hành \(\Rightarrow HN=OA\).
Mà \(OA=OB=OC=R\) (\(A,B,C\) nằm trên đg tròn \(\left(O;R\right)\))
\(OB=OC=BN=CN\)(O đối xứng với N qua AB).
\(\Rightarrow HN=BN=CN=R\).
\(\Rightarrow\)H nằm trên đg tròn \(\left(N;R\right)\).
Mà N cố định (O đối xứng với N qua dây AB cố định).
\(\Rightarrowđpcm\)
