$(b)$
Điều kiện xác định: $\left[\begin{matrix} x\ge\frac{1}{2} & \\ x\le 0 & \end{matrix}\right.$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có: $\sqrt{\frac{x}{2x-1}}+\sqrt{\frac{2x-1}{x}}\ge2 \sqrt{\frac{\sqrt{x(2x-1)}}{\sqrt{x(2x-1)}}}=2$
Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi: $\sqrt{\frac{x}{2x-1}}=\sqrt{\frac{2x-1}{x}}\Leftrightarrow x=2x-1\Leftrightarrow x=1$
Vậy $x=1$ là nghiệm của phương trình ban đầu
$(a):\sqrt{x-3}+\sqrt{15-x}=2\sqrt{6}(i)$
Điều kiện xác định $3\le x \le15$
$(i)\Leftrightarrow \sqrt{6}\sqrt{x-3}+\sqrt{6}\sqrt{15-x}=12$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$, ta được:
$\sqrt{6}\sqrt{x-3}+\sqrt{6}\sqrt{15-x}\le\frac{1}{2}\left ( 6+x-3+6+15-x \right )=12$
Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi:
$\left\{\begin{matrix} x-3=6 & \\ 15-x=6& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=9$
Vậy $x=9$ là nghiệm của phương trình $(i)$
