J là giao điểm của các đường phân giác của ΔAHB
=>BJ là phân giác của góc ABC và AJ là phân giác của góc HAB
K là giao điểm của các đường phân giác của ΔAHC
=>CK là phân giác của góc ACB và AK là phân giác của góc HAC
Vì I là giao điểm của các đường phân giác trong ΔABC
nên BJ cắt CK tại I
Ta có: AD là phân giác của góc HAB
=>\(\hat{HAD}=\frac12\cdot\hat{HAB}\)
Ta có: AE là phân giác của góc HAC
=>\(\hat{HAE}=\frac12\cdot\hat{HAC}\)
Ta có: \(\hat{HAD}+\hat{HAE}=\hat{DAE}\)
=>\(\hat{DAE}=\frac12\left(\hat{HAB}+\hat{HAC}\right)=\frac12\cdot90^0=45^0\)
Ta có: \(\hat{CAD}+\hat{BAD}=\hat{CAB}=90^0\)
\(\hat{CDA}+\hat{HAD}=90^0\) (ΔHAD vuông tại H)
mà \(\hat{BAD}=\hat{HAD}\) (AD là phân giác của góc HAB)
nên \(\hat{CAD}=\hat{CDA}\)
=>ΔCAD cân tại C
mà CI là đường phân giác
nên CI là đường trung trực của AD
=>IA=ID
Ta có: \(\hat{BAE}+\hat{CAE}=\hat{BAC}=90^0\)
\(\hat{BEA}+\hat{HAE}=90^0\) (ΔHAE vuông tại H)
mà \(\hat{CAE}=\hat{HAE}\) (AE là phân giác của góc HAC)
nên \(\hat{BAE}=\hat{BEA}\)
=>ΔBAE cân tại B
mà BI là phân giác
nên BI là đường trung trực của AE
=>IA=IE
=>IA=ID=IE
=>I là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAED
Xét (I) có
\(\hat{EAD}\) là góc nội tiếp chắn cung ED
=>\(\hat{EID}=\hat{EAD}\cdot2=45^0\cdot2=90^0\)
=>ĐPCM
