a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABM vuông tại M, ta được:
\(AB^2=AM^2+BM^2\)
\(\Leftrightarrow2\cdot AM^2=\left(5\sqrt{2}\right)^2=50\)
\(\Leftrightarrow AM^2=25\)
hay AM=5(cm)
mà \(AM=\dfrac{1}{2}BC\)(gt)
nên \(BC=2\cdot AM=2\cdot5=10\left(cm\right)\)
Vậy: BC=10cm
Lời giải:
a)
$MA=\frac{BC}{2}=BM$
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác $ABM$ vuông:
$AB^2=AM^2+BM^2=2AM^2$
$(5\sqrt{2})^2=2AM^2\Rightarrow AM=5$ (cm)
$BC=2AM=2.5=10$ (cm)
b)
Xét tam giác $ADC$ có $AM\perp DC, CK\perp AD$ và $AM, CK$ giao nhau tại $N$ nên $N$ là trực tâm của tam giác $ADC$
$\Rightarrow DN\perp AC(1)$
Tam giác $ABM$ vuông tại $M$ có $MA=MB$ nên là tam giác vuông cân
$\Rightarrow \widehat{BAM}=45^0$
Tương tự: $CAM$ là tam giác vuông cân có $\widehat{CAM}=45^0$
$\Rightarrow \widehat{BAC}=90^0\Rightarrow AB\perp AC(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow DN\parallel AB$
c) $AM$ vuông góc với $BC$ và đi qua trung điểm $M$ của $BC$ nên $AM$ là đường trung trực $BC$
$\Rightarrow AB=AC$
Xét tam giác $ABI$ và $CAK$ có:
$\widehat{I}=\widehat{K}=90^0$
$AB=CA$
$\widehat{BAI}=\widehat{ACK}$ (cùng phụ $\widehat{IAC}$)
$\Rightarrow \triangle ABI=\triangle CAK$ (ch-gn)
$\Rightarrow BI=AK$
Áp dụng định lý Pitago:
$BI^2+CK^2=AK^2+CK^2=AC^2=AM^2+MC^2=(\frac{BC}{2})^2+(\frac{BC}{2})^2=\frac{BC^2}{2}$ cố định do $BC$ cố định.
d)
Xét tam giác $BIM$ và $AKM$ có:
$BI=AK$ (do $\frac{BI}{AK}=\frac{AB}{AC}=1$ theo tam giác bằng nhau phần c)
$BM=AM$
$\widehat{IBM}=90^0-\widehat{BDI}=90^0-\widehat{ADM}=\widehat{KAM}$
$\Rightarrow \triangle BIM=\triangle AKM$ (c.g.c)
$IM=KM(*)$
$\widehat{IMB}=\widehat{KMA}$
$\Rightarrow \widehat{KMI}=\widehat{IMB}+\widehat{DMK}=\widehat{KMA}+\widehat{DMK}$
$\Rightarrow \widehat{KMI}=\widehat{DMA}=90^0(**)$
$(*); (**)$ suy ra $IMK$ vuông cân tại $M$
$\Rightarrow \widehat{IKM}=45^0$
$\Rightarrow \widehat{AKM}=180^0-\widehat{IKM}=135^0$
