a: Xét ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có
góc BAE chung
Do đó:ΔABE\(\sim\)ΔACF
b: Xét ΔAEF và ΔABC có
AE/AB=AF/AC
góc EAF chung
DO đó: ΔAEF\(\sim\)ΔABC
Suy ra: EF/BC=AE/AB
hay \(EF\cdot AB=BC\cdot AE\)
c. △BFC vuông tại F có FM là trung tuyến \(\Rightarrow FM=\dfrac{1}{2}BC\)
△BEC vuông tại E có EM là trung tuyến \(\Rightarrow EM=\dfrac{1}{2}BC=FM\)
\(\Rightarrow\)△MEF cân tại M mà N là trung điểm EF
\(\Rightarrow\)MN⊥EF.
d. BE cắt CF tại H,AH cắt BC tại D \(\Rightarrow\)H trực tâm △ABC \(\Rightarrow\)AH⊥BC tại D,
△HBD∼△CAD (∼△HAE) \(\Rightarrow\dfrac{DH}{DC}=\dfrac{DB}{DA}\Rightarrow DH.AD=BD.CD\)
-G/s AB<AC
\(DH.AD=BD.CD=\left(BM-DM\right)\left(CM+DM\right)=\left(BM-DM\right)\left(BM-DM\right)=BM^2-DM^2\le BM^2\)\(max\left(DH.AD\right)=BM^2\Leftrightarrow DM^2=0\Leftrightarrow D\equiv M\Leftrightarrow\)△ABC cân tại A.
