a; Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có
\(\hat{EAB}\) chung
Do đó: ΔAEB~ΔAFC
=>\(\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\)
=>\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)
=>\(AE\cdot AC=AF\cdot AB\)
b: Xét ΔAEF và ΔABC có
\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)
góc EAF chung
Do đó: ΔAEF~ΔABC
=>\(\hat{AEF}=\hat{ABC}\)
mà \(\hat{AEF}+\hat{CEF}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{CEF}+\hat{ABC}=180^0\)
c: Gọi H là giao điểm của BE và CF, K là giao điểm của AH và BC
Xét ΔABC có
BE,CF là các đường cao
BE cắt CF tại H
Do đó: H là trực tâm cua ΔABC
=>AH⊥BC tại K
Xét ΔBKA vuông tại K và ΔBFC vuông tại F có
\(\hat{KBA}\) chung
Do đó: ΔBKA~ΔBFC
=>\(\frac{BK}{BF}=\frac{BA}{BC}\)
=>\(BF\cdot BA=BK\cdot BC\)
XétΔCEB vuông tại E và ΔCKA vuông tại K có
\(\hat{ECB}\) chung
Do đó: ΔCEB~ΔCKA
=>\(\frac{CE}{CK}=\frac{CB}{CA}\)
=>\(CE\cdot CA=CK\cdot CB\)
\(BF\cdot BA+CE\cdot CA\)
\(=BK\cdot BC+CK\cdot BC=BC^2\)
