a: Xét ΔABC có BE là phân giác
nên \(\frac{AE}{EC}=\frac{BA}{BC}=\frac56\)
=>\(\frac{AE}{5}=\frac{EC}{6}\)
mà AE+EC=AC=6
nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\frac{AE}{5}=\frac{EC}{6}=\frac{AE+EC}{5+6}=\frac{6}{11}\)
=>\(\begin{cases}AE=\frac{5}{11}\cdot5=\frac{25}{11}\\ CE=\frac{6}{11}\cdot6=\frac{36}{11}\end{cases}\)
Xét ΔABC có CF là phân giác
nên \(\frac{FA}{FB}=\frac{CA}{CB}\)
=>\(\frac{FA}{FB}=\frac56\)
=>\(\frac{FA}{5}=\frac{FB}{6}\)
mà FA+FB=AB=5
nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\frac{FA}{5}=\frac{FB}{6}=\frac{FA+FB}{5+6}=\frac{5}{11}\)
=>\(FA=\frac{5}{11}\cdot5=\frac{25}{11};FB=\frac{5}{11}\cdot6=\frac{30}{11}\)
Xét ΔABC có FE//BC
nên \(\frac{FE}{BC}=\frac{AE}{AC}\)
=>\(\frac{FE}{6}=\frac{5}{11}\)
=>\(FE=\frac{30}{11}\left(\operatorname{cm}\right)\)
b: ΔABC cân tại A
mà AD là đường phân giác
nên D là trung điểm của BC
=>DB=DC=BC/2=6/2=3
Ta có: \(BF=\frac{6}{11}BA\)
=>\(S_{BFC}=\frac{6}{11}\cdot S_{BAC}\)
Ta có: \(BD=\frac12\cdot BC\)
=>\(S_{BFD}=\frac12\cdot S_{BFC}=\frac12\cdot\frac{6}{11}\cdot S_{ABC}=\frac{3}{11}\cdot S_{ABC}\)
ta có; \(CE=\frac{6}{11}CA\)
=>\(S_{CEB}=\frac{6}{11}\cdot S_{CBA}\)
Ta có: CD=1/2CB
=>\(S_{CDE}=\frac12\cdot S_{CEB}=\frac12\cdot\frac{6}{11}\cdot S_{ABC}=\frac{3}{11}\cdot S_{ABC}\)
Ta có: \(AE=\frac{5}{11}\cdot AC\)
=>\(S_{AEB}=\frac{5}{11}\cdot S_{ABC}\)
Ta có: \(AF=\frac{5}{11}\cdot AB\)
=>\(S_{AFE}=\frac{5}{11}\cdot S_{AEB}=\frac{25}{121}\cdot S_{ABC}\)
ΔABC cân tại A
mà AD là đường phân giác
nên AD⊥BC tại D
ΔADB vuông tại D
=>\(AD^2+DB^2=AB^2\)
=>\(AD^2=5^2-3^2=25-9=16=4^2\)
=>AD=4(cm)
ΔABC có AD là đường cao
nên \(S_{ABC}=\frac12\cdot AD\cdot BC=\frac12\cdot4\cdot6=2\cdot6=12\left(\operatorname{cm}^2\right)\)
Ta có: \(S_{AFE}+S_{BFD}+S_{CED}+S_{FDE}=S_{ABC}\)
=>\(S_{FDE}=S_{ABC}\left(1-\frac{3}{11}-\frac{3}{11}-\frac{25}{121}\right)=S_{ABC}\left(\frac{5}{11}-\frac{25}{121}\right)=S_{ABC}\cdot\frac{30}{121}\)
=>\(S_{FDE}=12\cdot\frac{30}{121}=\frac{360}{121}\left(\operatorname{cm}^2\right)\)
