TA có: \(AE=EB=\frac{AB}{2}\)
\(BF=FC=\frac{BC}{2}\)
mà AB=BC
nên AE=EB=BF=FC
Xét ΔFCD vuông tại C và ΔEBC vuông tại B có
FC=EB
CD=BC
Do đó: ΔFCD=ΔEBC
=>\(\hat{FDC}=\hat{ECB}\)
mà \(\hat{CDF}+\hat{CFD}=90^0\) (ΔCDF vuông tại C)
nên \(\hat{ECB}+\hat{CFD}=90^0\)
=>EC⊥DF tại M
Đặt AB=BC=CD=DA=a
=>AE=EB=BF=FC=a/2
ΔDFC vuông tại C có CM là đường cao
nên \(\frac{1}{CM^2}=\frac{1}{CD^2}+\frac{1}{CF^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{\left(0,5a\right)^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{4}{a^2}=\frac{5}{a^2}\)
=>\(CM^2=\frac{a^2}{5}\)
=>\(CM=\frac{a}{\sqrt5}\)
ΔCBE vuông tại B
=>\(CB^2+BE^2=CE^2\)
=>\(CE^2=a^2+\left(0,5a\right)^2=1,25a^2\)
=>\(CE=\frac{a\sqrt5}{2}\)
=>\(\frac{CM}{CE}=\frac{a}{\sqrt5}:\frac{a\sqrt5}{2}=\frac25\)
=>\(S_{BMC}=\frac25\cdot S_{BCE}=\frac25\cdot\frac12\cdot BC\cdot BE=\frac15\cdot BC\cdot BE\)
\(=\frac15\cdot BC\cdot\frac12\cdot BA=\frac{1}{10}\cdot BC\cdot BA=\frac{1}{10}\cdot S_{ABCD}\)
=>\(\frac{S_{CMB}}{S_{ABCD}}=\frac{1}{10}\)
