1: Xét ΔHKB vuông tại K và ΔHIC vuông tại I có
\(\hat{KHB}=\hat{IHC}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔHKB~ΔHIC
2: ΔHKB~ΔHIC
=>\(\hat{HBK}=\hat{HCI}\)
mà \(\hat{HBK}=\hat{HBC}\) (BH là phân giác của góc ABC)
nên \(\hat{ICH}=\hat{IBC}\)
Xét ΔICH vuông tại I và ΔIBC vuông tại I có
\(\hat{ICH}=\hat{IBC}\)
Do đó: ΔICH~ΔIBC
=>\(\frac{IC}{IB}=\frac{IH}{IC}\)
=>\(IC^2=IH\cdot IB\)
3: Kẻ HE⊥CB tại E
Xét ΔBEH vuông tại E và ΔBIC vuông tại I có
\(\hat{EBH}\) chung
Do đó: ΔBEH~ΔBIC
=>\(\frac{BE}{BI}=\frac{BH}{BC}\)
=>\(BH\cdot BI=BE\cdot BC\)
Xét ΔCEH vuông tại E và ΔCKB vuông tại K có
\(\hat{ECH}\) chung
Do đó: ΔCEH~ΔCKB
=>\(\frac{CE}{CK}=\frac{CH}{CB}\)
=>\(CH\cdot CK=CE\cdot CB\)
\(BH\cdot BI+CH\cdot CK\)
\(=BE\cdot BC+CE\cdot BC=BC^2\)
4: Xét ΔABC có
CK,BI là các đường cao
CK cắt BI tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH⊥BC tại D
mà HE⊥BC tại E
nên D trùng với E
Xét tứ giác AIHK có \(\hat{AIH}+\hat{AKH}=90^0+90^0=180^0\)
nên AIHK là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác BDHK có \(\hat{BDH}+\hat{BKH}=90^0+90^0=180^0\)
nên BDHK là tứ giác nội tiếp
Ta có: \(\hat{IKH}=\hat{IAH}\) (AIHK nội tiếp)
\(\hat{DKH}=\hat{DBH}\) (BDHK nội tiếp)
mà \(\hat{IAH}=\hat{DBH}\left(=90^0-\hat{ICB}\right)\)
nên \(\hat{IKH}=\hat{DKH}\)
=>KC là phân giác của góc IKD
