a: ΔABC cân tại A
mà AH là đường cao
nên H là trung điểm của BC và AH là phân giác của góc BAC
H là trung điểm của BC
=>\(BC=2\cdot HC=2\cdot2=4\left(\operatorname{cm}\right)\)
Diện tích tam giác ABC là:
\(S_{ABC}=\frac12\cdot AH\cdot BC=\frac12\cdot5\cdot4=2\cdot5=10\left(\operatorname{cm}^2\right)\)
Xét ΔABC có
M,D lần lượt là trung điểm của AB,AC
=>MD là đường trung bình của ΔABC
=>MD//BC và \(MD=\frac{BC}{2}\)
MD//BC
=>MD//CH
\(MD=\frac{BC}{2}\)
\(BH=CH=\frac{BC}{2}\)
Do đó: MD=BH=CH
Xét tứ giác MDCH có
MD//CH
MD=CH
Do đó: MDCH là hình bình hành
b: Xét tứ giác AHBI có
M là trung điểm chung của AB và HI
=>AHBI là hình bình hành
Hình bình hành AHBI có \(\hat{AHB}=90^0\)
nên AHBI là hình chữ nhật
=>HI=AB
ΔAHB vuông tại H
=>\(AH^2+HB^2=AB^2\)
=>\(AB^2=5^2+2^2=25+4=29\)
=>\(AB=\sqrt{29}\) (cm)
=>\(HI=AB=\sqrt{29}\left(\operatorname{cm}\right)\)
c: Hình chữ nhật AHBI trở thành hình vuông khi HA=HB
=>ΔAHB vuông cân tại H
=>\(\hat{ABC}=45^0\)
