a: M là trung điểm của AB
=>\(AM=MB=\frac{AB}{2}=\frac{3a}{2}=1.5a\)
N là trung điểm của AC
=>\(AN=NC=\frac{AC}{2}=\frac{4a}{2}=2a\)
\(-\frac23\cdot\overrightarrow{CM}-\frac43\cdot\overrightarrow{BN}\)
\(=-\frac23\cdot\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM}\right)-\frac43\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}\right)\)
\(=-\frac23\cdot\left(-\overrightarrow{AC}+\frac12\cdot\overrightarrow{AB}\right)-\frac43\left(-\overrightarrow{AB}+\frac12\cdot\overrightarrow{AC}\right)\)
\(=\frac23\cdot\overrightarrow{AC}-\frac13\cdot\overrightarrow{AB}+\frac43\cdot\overrightarrow{AB}-\frac23\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\)
b: Gọi I là trung điểm của MN
ΔAMN vuông tại A
=>\(AN^2+AM^2=MN^2\)
=>\(MN^2=\left(1,5a\right)^2+\left(2a\right)^2=6,25a^2=\left(2,5a\right)^2\)
=>MN=2,5a
Xét ΔAMN vuông tại A có AI là đường trung tuyến
nên \(AI=\frac{MN}{2}=\frac{2.5a}{2}=1,25a\)
\(\left|\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right|=\left|2\cdot\overrightarrow{AI}\right|\)
=>\(\left|\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right|=2\cdot AI=2\cdot1,25a=2,5a\)
