a: D đối xứng M qua AB
=>AB là đường trung trực cua DM
=>AB⊥DM tại E và E là trung điểm của DM
D đối xứng N qua AC
=>AC là đường trung trực của ND
=>AC⊥ND tại F và F là trung điểm của DN
Ta có:AB⊥DM
AC⊥ AB
Do đó: DM//AC
Ta có: AC⊥DN
AC⊥BA
Do đó: DN//AB
Xét ΔABC có
D là trung điêm của BC
DE//AC
Do đó: E là trung điêm cua AB
Xét ΔABC có
D là trung điểm của BC
DF//AB
Do đó: F là trung điểm của AC
Xét tứ giác AEDF có \(\hat{AED}=\hat{AFD}=\hat{FAE}=90^0\)
nên AEDF là hình chữ nhật
Xét tứ giác AMBD có
E là trung điểm chung của AB và MD
=>AMBD là hình bình hành
Hình bình hành AMBD có AB⊥MD
nên AMBD là hình thoi
=>AM//BD và AM=BD
AM//BD
=>AM//CD
AM=BD
BD=CD
Do đó: AM=CD
Xét tứ giác AMDC có
AM//DC
AM=DC
Do đó: AMDC là hình bình hành
2: ΔABC vuông tại A
mà AD là đường trung tuyến
nên \(AD=\frac{BC}{2}\)
AEDF là hình chữ nhật
=>FD//AE và FD=AE
FD//AE
=>FD//EB
FD=AE
AE=EB
Do đó: FD=EB
Xét tứ giác BEFD có
BE//FD
BE=FD
Do đó: BEFD là hình bình hành
=>BF cắt ED tại trung điểm của mỗi đường
=>I là trung điêm chung cua BF và ED
Xét ΔFBC có
I,H lần lượt là trung điểm của FB,FC
=>IH là đường trung bình của ΔFBC
=>\(IH=\frac{BC}{2}=AD\)
Xét tứ giác AHDI có
DI//AH
AD=HI
Do đó: AHDI là hình thang cân
3: AEDF là hình chữ nhật
=>AD cắt EF tại trung điểm của mỗi đường(1)
AMDC là hình bình hành
=>AD cắt MC tại trung điểm của mỗi đường(2)
Từ (1),(2) suy ra AD,EF,MC đồng quy
4: Hình chữ nhật AEDF trở thành hình vuông khi AE=AF
=>2AE=2AF
=>AB=AC
