\(1,\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\sqrt{2\left(a+b\right)}=\sqrt{2a\left(a+b\right)}+\sqrt{2b\left(a+b\right)}\le\dfrac{2a+a+b}{2}+\dfrac{2b+a+b}{2}=\dfrac{4\left(a+b\right)}{2}=2\left(a+b\right)\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b\)
\(2,\text{Giả sử: }a^5+b^5\ge a^2b^2\left(a+b\right)\\ \Leftrightarrow a^5-a^3b^2+b^5-a^2b^3\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\left(a^2-ab+b^2\right)\ge0\left(\text{luôn đúng}\right)\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=\pm b\)
\(3,\text{Giả sử: }2\left(a^4+b^4\right)\ge ab^3+a^3b+2a^2b^2\\ \Leftrightarrow a^4+b^4-2a^2b^2+a^4-ab^3+b^4-a^3b\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(a-b\right)\left(a^3+b^3\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\left(\text{luôn đúng}\right)\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=\pm b\)
\(4,\text{Giả sử: }\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\ge\dfrac{2}{1+xy}\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+y^2}-\dfrac{1}{1+xy}\ge0\\ \Leftrightarrow\dfrac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{y\left(x-y\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\\ \Leftrightarrow\dfrac{x\left(y-x\right)\left(1+y^2\right)+y\left(x-y\right)\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\\ \Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(-x-xy^2+y+x^2y\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(xy-1\right)\ge0\left(\text{luôn đúng do }xy\ge1\right)\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=1\)
