a: ΔAHB vuông tại H
mà HM là đường trung tuyến
nên HM=MA=MB
MH=MA
=>M nằm trên đường trung trực của AH(1)
ΔAHC vuông tại H
mà HN là đường trung tuyến
nen NA=NC=NH
NA=NH
=>N nằm trên đường trung trực của AH(2)
Từ (1),(2) suy ra MN là đường trung trực của AH
b: Xét ΔABC có
P,N lần lượt là trung điểm của CB,CA
=>PN là đường trung bình của ΔABC
=>PN//AB và \(PN=\frac{AB}{2}\)
PN//AB
=>PQ//AB
\(PN=\frac{AB}{2}\)
\(PN=\frac{PQ}{2}\)
Do đó: AB=PQ
Xét tứ giác AQPB có
PQ//AB
PQ=AB
Do đó; AQPB là hình bình hành
c: Xét ΔABC có
M,P lần lượt là trung điểm của BA,BC
=>MP là đường trung bình của ΔABC
=>\(MP=\frac{BC}{2}=HN\)
Xét ΔABC có
M,N lần lượt là trung điểm của AB,AC
=>MN là đường trung bình của ΔABC
=>MN//BC
=>MN//HP
Xét tứ giác MNPH có
MN//PH
MP=HN
Do đó: MNPH là hình thang cân
d: BM=MA=AB/2
PN=NQ=PQ/2
mà AB=PQ
nên BM=MA=PN=NQ
Xét tứ giác BMQN có
BM//QN
BM=QN
Do đó: BMQN là hình bình hành
=>BQ cắt MN tại trung điểm của mỗi đường
mà K là trung điểm của MN
nên K là trung điểm của BQ
=>B,K,Q thẳng hàng
