Xét hàm \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{3}x^3-x^2+\left(m^2+2\right)x+mcosx\)
\(f'\left(x\right)=x^2-2x+m^2+2-m.sinx=\left(x-1\right)^2+\left(m-\dfrac{1}{2}sinx\right)^2+\dfrac{3}{4}cos^2x+\dfrac{1}{4}>0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên R với mọi m
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) có đúng 1 nghiệm
Mặt khác \(f\left(-1\right)=-m^2+m.cos1-\dfrac{10}{3}< 0\)
\(f\left(2\right)=2m^2+m.cos2+\dfrac{8}{3}>0\)
\(\Rightarrow\) Nghiệm của pt luôn thuộc \(\left(-1;2\right)\) hay nghiệm của pt luôn nhỏ hơn \(\pi\)
\(\Rightarrow\) Hàm đồng biến trên khoảng đã cho khi và chỉ khi pt vô nghiệm trên \(\left(0;\pi\right)\)
\(\Rightarrow f\left(0\right)\ge0\Rightarrow m\ge0\)
Có 20 số nguyên m
