ta có:\(\dfrac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}=\dfrac{2\left(a+b\right)}{\sqrt{4a\left(3a+b\right)}+\sqrt{4b\left(3b+a\right)}}\left(1\right)\)
áp dụng bất đẳng thức cô si cho các số dương ta được:
\(\sqrt{4a\left(3a+b\right)}\le\dfrac{4a+\left(3a+b\right)}{2}=\dfrac{7a+b}{2}\left(2\right)\)
\(\sqrt{4b\left(3b+a\right)}\le\dfrac{4b\left(3b+a\right)}{2}=\dfrac{7b+a}{2}\left(3\right)\)
từ (2) và (3) suy ra:\(\sqrt{4a\left(3a+b\right)}+\sqrt{4b\left(3b+a\right)}\le4a+4b\left(4\right)\)
từ (2) và (4) suy ra:
\(\dfrac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}\ge\dfrac{2\left(a+b\right)}{4a+4b}=\dfrac{1}{2}\) dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi a=b
