\(3,\)
\(a,\left\{{}\begin{matrix}\widehat{MNE}=\widehat{ENP}=\dfrac{1}{2}\widehat{MNP}\left(t/c.phân.giác\right)\\\widehat{MPF}=\widehat{FPN}=\dfrac{1}{2}\widehat{MPN}\left(t/c.phân.giác\right)\\\widehat{MNP}=\widehat{MPN}\left(\Delta MNP.cân.tại.M\right)\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\widehat{MNE}=\widehat{ENP}=\widehat{MPF}=\widehat{FPN}\)
\(b,\left\{{}\begin{matrix}\widehat{MNE}=\widehat{MPF}\left(cm.trên\right)\\MN=MP\left(\Delta MNP.cân\right)\\\widehat{MNP}.chung\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta MEN=\Delta MFP\left(g.c.g\right)\\ \Rightarrow ME=MF\Rightarrow\Delta MEF.cân.tại.M\)
\(c,\left\{{}\begin{matrix}ME=MF\left(cmt\right)\\MN=MP\left(GT\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\dfrac{ME}{MP}=\dfrac{MF}{MN}\Rightarrow EF//NP\left(Talét.đảo\right)\)
\(\Rightarrow NFEP\) là hình thang
Mà \(\widehat{MNP}=\widehat{MPN}\Rightarrow NFEP\) là hình thang cân \(\left(1\right)\)
\(EF//NP\Rightarrow\widehat{ENP}=\widehat{NEF}\left(so.le.trong\right)\)
Mà \(\widehat{MNE}=\widehat{ENP}\left(cm.trên\right)\Rightarrow\widehat{MNE}=\widehat{NEF}\)
\(\Rightarrow\Delta NFE.cân.tại.F\Rightarrow NF=FE\left(2\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow NFEP\) là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên
Bài 4:
a: Xét ΔBHC vuông tại H và ΔCKB vuông tại K có
BC chung
\(\widehat{HCB}=\widehat{KBC}\)
Do đó: ΔBHC=ΔCKB
b: Ta có: ΔBHC=ΔCKB
nên HC=KB(hai cạnh tương ứng)
Ta có: AK+KB=AB
AH+HC=AC
mà KB=HC
và AB=AC
nên AK=AH
c: Xét ΔABC có
\(\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{AH}{AC}\)
Do đó: KH//BC
Xét tứ giác BKHC có KH//BC
nên BKHC là hình thang
mà BH=CK
nên BKHC là hình thang cân
