a: Gọi O là giao điểm của MP và NQ
Ta có: MN//PQ
=>\(\hat{MAQ}=\hat{AQP}\) (hai góc so le trong)
mà \(\hat{MQA}=\hat{AQP}\) (QA là phân giác của góc MQP)
nên \(\hat{MAQ}=\hat{MQA}\)
=>MQ=MA
mà MQ=NP
nên MA=NP
Ta có: MN//PQ
=>\(\hat{MNB}=\hat{PBN}\) (hai góc so le trong)
mà \(\hat{MNB}=\hat{PNB}\) (NB là phân giác của góc MNP)
nên \(\hat{PBN}=\hat{PNB}\)
=>PB=PN
mà MA=NP
nên MA=PB
MNPQ là hình bình hành
=>MP cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của MP và NQ
Xét tứ giác MAPB có
MA//PB
MA=PB
Do đó: MAPB là hình bình hành
=>MP cắt AB tại trung điểm của mỗi đường
mà O là trung điểm của MP
nên O là trung điểm của AB(1)
Ta có: ND//PQ
=>\(\hat{NQP}=\hat{DPQ}\) (hai góc so le trong)
mà \(\hat{DPQ}=\hat{NPD}\) (PD là phân giác của góc NPQ)
nên \(\hat{NDP}=\hat{NPD}\)
=>ND=NP
mà NP=MQ
nên ND=MQ
Ta có: MN//PQ
=>\(\hat{QCM}=\hat{NMC}\) (hai góc so le trong)
mà \(\hat{NMC}=\hat{QMC}\) (MC là phân giác của góc NMQ)
nên \(\hat{QCM}=\hat{QMC}\)
=>QC=QM
mà QM=ND
nên QC=ND
Xét tứ giác NDQC có
ND//QC
ND=QC
Do đó: NDQC là hình bình hành
=>NQ cắt DC tại trung điểm của mỗi đường
mà O là trung điểm của NQ
nên O là trung điểm của DC(2)
Từ (1),(2) suy ra AB và CD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường
b: Xét tứ giác ACBD có
O là trung điểm chung của AB và CD
=>ACBD là hình bình hành
=>DA=BC
