a: Đặt \(a^2+a+43=k^2\left(k\in N\right)\)
=>\(4a^2+4a+172=4k^2\)
=>\(4a^2+4a+1-4k^2=-171\)
=>\(\left(2a+1\right)^2-\left(2k\right)^2=-171\)
=>(2a+1-2k)(2a+1+2k)=-171
=>(2a+1-2k;2a+1+2k)∈{(1;-171);(-171;1);(-1;171);(171;-1);(3;-57);(-57;3)(-3;57);(57;-3);(9;-19);(-19;9);(-9;19);(19;-9)}
TH1: 2a+1-2k=1 và 2a+1+2k=-171
=>2a+1-2k+2a+1+2k=1-171
=>4a+2=-170
=>4a=-172
=>a=-43(nhận)
TH2: 2a+1-2k=-171 và 2a+1+2k=1
=>2a+1-2k+2a+1+2k=1-171
=>4a+2=-170
=>4a=-172
=>a=-43(nhận)
TH3: 2a+1-2k=-1 và 2a+1+2k=171
=>2a+1-2k+2a+1+2k=-1+171
=>4a+2=170
=>4a=168
=>a=42(nhận)
TH4: 2a+1-2k=171 và 2a+1+2k=-1
=>2a+1-2k+2a+1+2k=-1+171
=>4a+2=170
=>4a=168
=>a=42(nhận)
TH5: 2a+1-2k=3 và 2a+1+2k=-57
=>2a+1-2k+2a+1+2k=3-57
=>4a+2=-54
=>4a=-56
=>a=-14(nhận)
TH6: 2a+1-2k=-57 và 2a+1+2k=3
=>2a+1-2k+2a+1+2k=3-57
=>4a+2=-54
=>4a=-56
=>a=-14(nhận)
TH7: 2a+1-2k=-3 và 2a+1+2k=57
=>2a+1-2k+2a+1+2k=-3+57
=>4a+2=54
=>4a=52
=>a=13(nhận)
TH8: 2a+1-2k=57 và 2a+1+2k=-3
=>2a+1-2k+2a+1+2k=-3+57
=>4a+2=54
=>4a=52
=>a=13(nhận)
TH9: 2a+1-2k=9 và 2a+1+2k=-19
=>2a+1-2k+2a+1+2k=9-19
=>4a+2=-10
=>4a=-12
=>a=-3(nhận)
TH10: 2a+1-2k=-19 và 2a+1+2k=9
=>2a+1-2k+2a+1+2k=9-19
=>4a+2=-10
=>4a=-12
=>a=-3(nhận)
TH11: 2a+1-2k=-9 và 2a+1+2k=19
=>2a+1-2k+2a+1+2k=-9+19
=>4a+2=10
=>4a=8
=>a=2(nhận)
TH12: 2a+1-2k=19 và 2a+1+2k=-9
=>2a+1-2k+2a+1+2k=-9+19
=>4a+2=10
=>4a=8
=>a=2(nhận)
c: \(a^2+2010=k^2\left(k\in N\right)\)
=>(a-k)(a+k)=-2010
Vì a-k+a+k=2a⋮2
nên a-k và a+k có cùng tính chẵn lẻ
TH1: a-k và a+k đều lẻ
=>(a-k)(a+k) lẻ
mà -2010 là số chẵn
nên Loại
Th2: a-k và a+k đều chẵn
=>(a-k)(a+k)⋮4
mà -2010 không chia hết cho 4
nên Loại
Vậy: a∈∅
