Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(x^3;y^3;z^3\right)\Rightarrow xyz=1\)
\(\left(1+x^3+y^6\right)\left(z^4+x+\dfrac{1}{y^2}\right)\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\Rightarrow\dfrac{1}{1+x^3+y^6}\le\dfrac{z^4+x+\dfrac{1}{y^2}}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}=\dfrac{z^4+x+z^2x^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Tương tự và cộng lại:
\(VT\le\dfrac{x^4+y^4+z^4+x+y+z+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{x^4+y^4+z^4+x+y+z+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\le1\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge x+y+z\)
Điều này hiển nhiên đúng do:
\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)=x+y+z\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi 3 biến bằng 1
