bài 1:
a: Gọi O là giao điểm của AD và BC
Xét ΔODC có \(\hat{ODC}+\hat{OCD}=90^0\)
nên ΔOCD vuông tại O
=>AD⊥BC tại O
Xét ΔABC có
M,E lần lượt là trung điểm của AB,AC
=>ME là đường trung bình của ΔABC
=>ME//BC và \(ME=\frac{BC}{2}\)
Xét ΔDBC có
N,F lần lượt là trung điểm của DC,DB
=>NF là đường trung bình của ΔDBC
=>NF//BC và \(NF=\frac{BC}{2}\)
ME//BC
NF//BC
Do đó: ME//NF
\(ME=\frac{BC}{2}\)
\(NF=\frac{BC}{2}\)
Do đó: ME=NF
Xét ΔBAD có
M,F lần lượt là trung điểm của BA,BD
=>MF là đường trung bình của ΔBAD
=>MF//AD và \(MF=\frac{AD}{2}\)
MF//AD
AD⊥BC
Do đó: MF⊥BC
MF⊥BC
ME//BC
Do đó: MF⊥ME
Xét tứ giác MENF có
ME//NF
ME=NF
Do đó: MENF là hình bình hành
Hình bình hành MENF có ME⊥MF
nên MENF là hình chữ nhật
2: MENF là hình chữ nhật
=>MN=EF
Gọi I,K lần lượt là trung điểm của ADvà BC
Xét hình thang ABCD có
I,K lần lượt là trung điểm của AD,BC
=>IK là đường trung bình của hình thang ABCD
=>IK//AB//CD và \(IK=\frac{AB+CD}{2}\)
Xét ΔDAB có
I,F lần lượt là trung điểm của DA,DB
=>IF là đường trung bình của ΔDAB
=>IF//AB và \(IF=\frac{AB}{2}\)
Xét ΔCAB có
E,K lần lượt là trung điểm của CA,CB
=>EK là đường trung bình của ΔCAB
=>EK//AB và \(EK=\frac{AB}{2}\)
IF//AB
IK//AB
mà IK,IF có điểm chung là I
nên I,K,F thẳng hàng(1)
Ta có: EK//AB
IK//AB
mà IK,EK có điểm chung là K
nên I,E,K thẳng hàng(2)
Từ (1),(2) suy ra I,F,E,K thẳng hàng
IF+FE+EK=IK
=>\(FE=IK-IF-EK=\frac{AB+CD}{2}-\frac{AB}{2}-\frac{AB}{2}=\frac{CD-AB}{2}\)
=>\(MN=\frac{CD-AB}{2}\)
