TH1: Xét \(m-1=0\) \(\Leftrightarrow m=1\)
\(\Rightarrow\left(d\right):y=2\)
Khi đó khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là 2 (*)
TH2:\(m\ne1\)
Gọi \(A=Ox\cap\left(d\right)\Rightarrow A\left(\dfrac{2}{1-m};0\right)\),\(B=Oy\cap\left(d\right)\Rightarrow B\left(0;2\right)\)
Kẻ \(OH\perp d\) hay \(OH\perp AB\)
\(\Rightarrow\) Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đt d bằng độ dài đoạn AH
Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông có:
\(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OB^2}+\dfrac{1}{OA^2}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{2}{1-m}\right)^2}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{\left(1-m\right)^2}{4}=\dfrac{1+\left(1-m\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow OH^2=\dfrac{4}{1+\left(1-m\right)^2}\le\dfrac{4}{1+0}=4\)
\(\Leftrightarrow OH\le2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(1-m=0\Leftrightarrow m=1\) (không thỏa mãn đk)
\(\Rightarrow\)Dấu "=" không xảy ra
\(\Rightarrow OH< 2\)(2*)
Từ (*) và (2*) =>Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến đt d là 2 khi m=1
Vậy...
\(m\ne1\)
cho x=0=>y=2=>A(0,2)
cho y=0=>x=\(\dfrac{-2}{m-1}\)=>B(\(-\dfrac{2}{m-1};0\))
gọi khoảng cách từ gốc tọa độ đền d là AH
\(=>\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{\left(-\dfrac{2}{m-1}\right)^2}=>\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{\dfrac{4}{\left(m-1\right)^2}}\)\(=>\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{4}+\left(m-1\right)^2=\dfrac{4\left(m-1\right)^2+1}{4}\)
\(=>AH^2=\dfrac{4}{4\left(m-1\right)^2+1}\le4\) dấu"=" xảy ra<=>m=1(ktm)
=>m rỗng
